A3 指数与对数

模块 A3：指数与对数

对应考纲 Section 1: MM5.1, MM5.2, MM5.3 对应 Paper: P1 重点（约 15/320 题），P2 涉及（逻辑推理型指数对数题） 建议课时: 1 课时 | 目标题量: 10-15 题

📋 模块概览

小节	内容	对应考纲	历年真题频率	课时
A3.1	指数函数与图像	MM5.1	8 年 8 次	0.25
A3.2	对数运算法则	MM5.2	8 年 12 次	0.25
A3.3	指数与对数方程求解	MM5.3	8 年 15 次	0.5

A3.1 指数函数与图像 [MM5.1]

1.1 指数函数的定义

指数函数的形式为 $y = a^x$ ，其中 $a > 0$ 且 $a \neq 1$ 。

⚠️ 为什么要求 $a \neq 1$ ？ 当 $a = 1$ 时， $y = 1^x = 1$ 是常数函数，没有指数增长或衰减的特性。

1.2 指数函数的图像特征

底数 $a$	函数性质	图像特征	关键点
$a > 1$	严格递增	从左下到右上，过 $(0,1)$	$x \to +\infty$ 时 $y \to +\infty$
$0 < a < 1$	严格递减	从左上到右下，过 $(0,1)$	$x \to +\infty$ 时 $y \to 0$

共同特征：

必过点 $(0, 1)$ （因为 $a^0 = 1$ ）
恒在 $x$ 轴上方（ $y > 0$ ）
无零点、无对称性

1.3 指数法则回顾 [MM1.1]

$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$

$\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$

$(a^m)^n = a^{mn}$

$a^{-n} = \frac{1}{a^n}$

$a^{m/n} = \sqrt[n]{a^m} = (\sqrt[n]{a})^m$

⚡ 常用特例： $a^{x} \cdot a^{-x} = 1$ ，即 $a^{-x} = \frac{1}{a^x}$ 。

A3.2 对数运算法则 [MM5.2]

2.1 对数的定义

若 $a^b = c$ （ $a > 0$ , $a \neq 1$ , $c > 0$ ），则 $b = \log_a c$ 。

本质理解：对数是指数的逆运算， $\log_a c$ 回答的问题是「 $a$ 的多少次幂等于 $c$ ？」

2.2 对数基本性质

性质	公式	推导
对数恒等式	$\log_a a = 1$	$a^1 = a$
对数零值	$\log_a 1 = 0$	$a^0 = 1$
指数还原	$a^{\log_a x} = x$	定义直接得出

2.3 对数运算法则

$\log_a x + \log_a y = \log_a(xy)$

$\log_a x - \log_a y = \log_a\left(\frac{x}{y}\right)$

$k \log_a x = \log_a(x^k)$

特例：

$\log_a\left(\frac{1}{x}\right) = -\log_a x$

$\log_a \sqrt{x} = \frac{1}{2}\log_a x$

⚠️ 常见错误：

$\log_a(x + y) \neq \log_a x + \log_a y$
$\log_a(xy) \neq (\log_a x)(\log_a y)$
对数只对乘法、除法、幂运算有简化作用，对加减法无效

2.4 换底公式（考试不要求，但了解有助于理解）

$\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$

⚡ 常用形式： $\log_2 3 = \frac{\log_{10} 3}{\log_{10} 2}$ 。

A3.3 指数与对数方程求解 [MM5.3]

3.1 指数方程求解策略

核心思想：通过换元将指数方程转化为熟悉的代数方程。

典型模式：

$a^{2x} + b a^x + c = 0$ → 设 $u = a^x$ ，化为 $u^2 + bu + c = 0$
$a^x = b$ → $x = \log_a b$
$a^x = a^y$ → $x = y$ （底数相同时指数相等）

3.2 对数方程求解策略

核心思想：利用对数运算法则化为简单形式，再取指数还原。

典型步骤：

利用运算法则合并/拆分对数项
化为 $\log_a A = \log_a B$ 的形式
去对数得 $A = B$
检验定义域：对数要求真数 $> 0$

⚠️ 易错警示：去对数后必须检验真数是否为正，排除增根。

3.3 对数不等式的陷阱

当对数底数 $a > 1$ 时，函数递增，不等号方向不变： $\log_a x > \log_a y \iff x > y$

当对数底数 $0 < a < 1$ 时，函数递减，不等号反转： $\log_a x > \log_a y \iff x < y$

⚡ 速解技巧汇总

场景	技巧
指数方程 $a^{2x} + ba^x + c = 0$	设 $u = a^x$ ，化为二次方程
比较 $a^x$ 与 $b^x$ 的大小	看 $x > 0$ 还是 $x < 0$ ，利用单调性
对数合并	$\log(xy) = \log x + \log y$ ，反之亦可拆分
求解 $\log_a x = k$	直接写 $x = a^k$ ，一步到位
判断 $f(x) = a^{kx}$ 的图像	有效底数为 $a^k$ ，与 $b^x$ 比较
对数底数小于 1 的不等式	不等号必须反转

⚠️ 易错警示

❌ $\log(x+y) \neq \log x + \log y$ — 对数不能拆解加法
❌ $\log(xy) \neq (\log x)(\log y)$ — 对数乘积不是对数的乘积
❌ 指数方程换元后， $u = a^x$ 必须 $> 0$ ，排除负根
❌ 底数 $< 1$ 的对数不等式，不等号必须反转
❌ $a^{x+y} = a^x \cdot a^y$ ，不是 $(a^x)^y$ （后者等于 $a^{xy}$ ）

📝 精选例题

例题 1（2016 P1 Q11 · 指数方程求解）

题目：方程 $4^{2x} + 12 = 2^{2x+3}$ 的两个实根为 $p$ 和 $q$ （ $p > q$ ），求 $p - q$ 的值。

【题目分析】本题考查指数方程的换元求解。核心在于识别底数关系 $4 = 2^2$ ，将方程转化为同一底数的指数形式，再通过换元化为二次方程。

【解题步骤】第一步：统一底数

$4^{2x} = (2^2)^{2x} = 2^{4x} = (2^{2x})^2$

$2^{2x+3} = 2^{2x} \cdot 2^3 = 8 \cdot 2^{2x}$

第二步：设 $u = 2^{2x}$ （ $u > 0$ ），方程化为：

$u^2 + 12 = 8u$

$u^2 - 8u + 12 = 0$

第三步：解二次方程

$(u-6)(u-2) = 0$

得 $u = 6$ 或 $u = 2$ （均为正，符合要求）。

第四步：还原求 $x$

当 $u = 6$ 时： $2^{2x} = 6$ ，即 $2x = \log_2 6$ ，故 $x = \frac{1}{2}\log_2 6$ 。

当 $u = 2$ 时： $2^{2x} = 2$ ，即 $2x = 1$ ，故 $x = \frac{1}{2}$ 。

第五步：计算 $p - q$

$p - q = \frac{1}{2}\log_2 6 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}(\log_2 6 - \log_2 2) = \frac{1}{2}\log_2 3$

利用换底公式 $\log_2 3 = \frac{\log_{10} 3}{\log_{10} 2}$ 及 $2\log_{10} 2 = \log_{10} 4$ ：

$p - q = \frac{\log_{10} 3}{\log_{10} 4}$

【快捷思路】换元 $u = 2^{2x}$ 后二次方程两根为 6 和 2。两 $x$ 值之差为 $\frac{1}{2}\log_2\frac{6}{2} = \frac{1}{2}\log_2 3$ 。选项均为 $\log_{10}$ 形式，利用换底公式一步匹配。

【正确答案】E（ $\frac{\log_{10} 3}{\log_{10} 4}$ ）

【知识点】Algebra（指数方程） | 考纲: MM5.3

例题 2（2017 P1 Q14 · 指数方程组）

题目：解方程组 $\begin{cases} 2^x + 3 \times 2^y = 3 \\ 2^{2x} - 9 \times 2^{2y} = 6 \end{cases}$ ，设解为 $x = p$ , $y = q$ ，求 $p - q$ 。

【题目分析】本题考查含指数变量的方程组求解。关键在于识别第二个方程可以利用平方差公式化简，避免复杂的代入消元。

【解题步骤】第一步：设 $u = 2^x$ , $v = 2^y$ （ $u > 0$ , $v > 0$ ）

方程组化为： $u + 3v = 3$ $u^2 - 9v^2 = 6$

第二步：第二个方程利用平方差公式

$u^2 - 9v^2 = (u + 3v)(u - 3v) = 6$

将第一式 $u + 3v = 3$ 代入：

$3(u - 3v) = 6 \quad \Rightarrow \quad u - 3v = 2$

第三步：解简化后的方程组

$\begin{cases} u + 3v = 3 \\ u - 3v = 2 \end{cases}$

相加得 $2u = 5$ ，故 $u = \frac{5}{2}$ 。

相减得 $6v = 1$ ，故 $v = \frac{1}{6}$ 。

第四步：还原求 $x$ 和 $y$

$x = \log_2 u = \log_2\frac{5}{2}$

$y = \log_2 v = \log_2\frac{1}{6}$

第五步：计算 $p - q$

$p - q = \log_2\frac{5}{2} - \log_2\frac{1}{6} = \log_2\left(\frac{5}{2} \div \frac{1}{6}\right) = \log_2 15$

【快捷思路】关键在于识别 $u^2 - 9v^2 = (u+3v)(u-3v)$ ，利用第一个方程直接得到 $u-3v$ ，无需展开代入。两步即可解出 $u$ 和 $v$ ，最后用对数法则合并。

【正确答案】F（ $\log_2 15$ ）

【知识点】Algebra（指数方程组） | 考纲: MM5.3

例题 3（2017 P1 Q18 · 对数函数图像变换）

题目：将 $y = \log_{10} x$ 的图像向上平移 2 个单位，这一平移等价于沿 $x$ 轴方向拉伸因子 $k$ 。求 $k$ 的值。

【题目分析】本题考查对数函数的特殊性质：上下平移可以等价于水平伸缩。这是因为 $\log x + c = \log(10^c \cdot x)$ 。

【解题步骤】第一步：写出平移后的函数

向上平移 2 个单位： $y = \log_{10} x + 2$

第二步：利用对数法则化简

$y = \log_{10} x + \log_{10} 100 = \log_{10}(100x)$

第三步：比较拉伸变换

沿 $x$ 轴拉伸因子 $k$ 后，函数变为 $y = f\left(\frac{x}{k}\right)$ ：

$y = \log_{10}\left(\frac{x}{k}\right) = \log_{10} x - \log_{10} k$

第四步：令两式恒等

$\log_{10}(100x) = \log_{10} x - \log_{10} k$

比较常数项： $-\log_{10} k = 2$ ，即 $\log_{10} k = -2$ 。

因此 $k = 10^{-2} = 0.01$ 。

【快捷思路】取特殊点验证：原函数过 $(1, 0)$ ，平移后变为 $(1, 2)$ 。同时原图像上点 $(0.01, -2)$ 平移到 $(0.01, 0)$ 。沿 $x$ 轴拉伸将 $x$ -截距从 1 变为 $k$ ，故 $k = 0.01$ 。

【正确答案】A（ $0.01$ ）

【知识点】Functions（对数函数图像） | 考纲: MM5.1, MM8.2

🏋️ 课后练习（限时 15 分钟）

#	题号	考点	对应考纲	难度
1	2016 P1 Q16	对数方程组	MM5.2, MM5.3	⭐⭐⭐
2	2017 P2 Q7	指数函数图像比较	MM5.1	⭐⭐⭐
3	2018 P1 Q14	对数与直线	MM5.2	⭐⭐
4	2018 P1 Q15	指数方程换元	MM5.3	⭐⭐⭐
5	2019 P1 Q11	对数方程组	MM5.2, MM5.3	⭐⭐⭐⭐
6	2019 P1 Q15	指数方程（嵌套）	MM5.3	⭐⭐⭐⭐
7	2020 P1 Q15	对数高次方程	MM5.3	⭐⭐⭐⭐
8	2021 P1 Q4	指数函数最小值	MM5.1	⭐⭐⭐
9	2021 P1 Q10	对数积分	MM5.2, MM7.5	⭐⭐⭐
10	2021 P2 Q17	嵌套对数比较	MM5.2	⭐⭐⭐⭐⭐

完整解析见题库数据库，每题均含【解题步骤】与【快捷思路】。

制作时间: 2026-04-29
数据来源: TMUA 题库数据库（2016-2022）
适用对象: TMUA 备考学生