FP3 第四章：积分

FP3 讲义：积分

先备知识检查

在开始之前，让我们回顾一些微分学习中的关键概念：

练习：链式法则与复合函数

求以下函数的 $\frac{dy}{dx}$：

1. $y = \sin(\operatorname{arcosh} x)$
2. $y = \arctan(e^x)$
3. $y = \ln(\sqrt{1-x^2})$

参考：积分与微分公式

三角函数

$f(x)$	$\int f(x)\,dx$	$f'(x)$
$\tan x$	$\ln\|\sec x\|$	$\sec^2 x$
$\cot x$	$\ln\|\sin x\|$	$-\operatorname{cosec}^2 x$
$\sec x$		$\sec x\tan x$
$\operatorname{cosec} x$		$-\operatorname{cosec} x\cot x$
$\arcsin x$		$\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
$\arccos x$		$-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
$\arctan x$		$\frac{1}{1+x^2}$

双曲函数

$f(x)$	$\int f(x)\,dx$	$f'(x)$
$\tanh x$	$\ln\cosh x$	$\operatorname{sech}^2 x$
$\coth x$	$\ln\|\sinh x\|$	$-\operatorname{csch}^2 x$
$\operatorname{sech} x$		$-\operatorname{sech} x\tanh x$
$\operatorname{csch} x$		$-\operatorname{csch} x\coth x$
$\operatorname{arsinh} x$		$\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$
$\operatorname{arcosh} x$		$\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}$
$\operatorname{artanh} x$		$\frac{1}{1-x^2}$

标准积分形式

形式	积分	条件
$\frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}$	$\arcsin(\frac{x}{a})$	$\|x\| < a$
$\frac{1}{a^2+x^2}$	$\frac{1}{a}\arctan(\frac{x}{a})$
$\frac{1}{\sqrt{x^2-a^2}}$	$\operatorname{arcosh}(\frac{x}{a})$	$\|x\| > a$
$\frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}}$	$\operatorname{arsinh}(\frac{x}{a})$
$\frac{1}{a^2-x^2}$	$\frac{1}{a}\operatorname{artanh}(\frac{x}{a})$	$\|x\| < a$
$\frac{1}{x^2-a^2}$	$\frac{1}{2a}\ln\|\frac{x-a}{x+a}\|$	$\|x\| > a$

要点：

• 注意定义域限制
• 注意三角函数和双曲函数形式的相似性
• 记住某些形式需要先配完全平方
• 留意换元的机会

1. 积分回顾

1.1 积分作为累积

定义：定积分

对于区间 $[a, b]$ 上的连续函数 $f$，定积分 $\int_a^b f(x)\,dx$ 表示量 $f$ 在区间 $[a, b]$ 上的净累积。几何上，它表示曲线 $y = f(x)$ 与 $x$ 轴之间的有符号面积。

常见误解

许多学生仅将积分视为”反微分”或”找到导数为 $f(x)$ 的函数”。虽然这通过微积分基本定理与积分相关，但它遗漏了积分作为累积或求和过程的更深层含义。

考虑质点的速度 $v(t)$。在时间 $[a, b]$ 上的位移为：

$\int_a^b v(t)\,dt$

这表示瞬时速度的累积，而不仅仅是”撤销”微分。

定理：微积分基本定理

设 $f$ 在 $[a, b]$ 上连续。则：

1. 若定义 $F(x) = \int_a^x f(t)\,dt$，则 $F'(x) = f(x)$

2. 若 $G$ 是 $f$ 的任意原函数（即 $G' = f$），则：

   $\int_a^b f(x)\,dx = G(b) - G(a)$

1.2 换元法则：链式法则的推论

定理：换元法则

若 $u = g(x)$ 可微且 $f$ 连续，则：

$\int f(g(x))g'(x)\,dx = \int f(u)\,du$

证明

设 $F$ 是 $f$ 的一个原函数。则：

• 由链式法则，$\frac{d}{dx}[F(g(x))] = F'(g(x))g'(x) = f(g(x))g'(x)$
• 因此 $F(g(x))$ 是 $f(g(x))g'(x)$ 的原函数
• 类似地，$F(u)$ 是 $f(u)$ 的原函数
• 换元 $u = g(x)$ 将一个转化为另一个

例题

用换元法求 $\int \cos(2x)\,dx$。

1.3 分部积分：乘积法则的逆用

定理：分部积分

对于可微函数 $u$ 和 $v$：

$\int u\,dv = uv - \int v\,du$

证明

由乘积法则：

$\frac{d}{dx}(uv) = u\frac{dv}{dx} + v\frac{du}{dx}$

两边积分：

$uv = \int u\frac{dv}{dx}\,dx + \int v\frac{du}{dx}\,dx$

整理并使用微分记号：

$\int u\,dv = uv - \int v\,du$

例题

(a) 对 $x$ 求 $x \operatorname{arcosh} 5x$ 的导数。

(b) 由此或用其他方法证明

$\int_{\frac{1}{4}}^{\frac{3}{5}} \operatorname{arcosh} 5x \, dx = \frac{3}{20} - \frac{2\sqrt{2}}{5} + \ln(p + q\sqrt{2})^k - \frac{1}{4}\ln r$

其中 $p$、$q$、$k$ 和 $r$ 为待定有理数。

2. 有理函数的积分

2.1 配完全平方

例题

已知 $4x^2 + 4x + 17 \equiv (2x + p)^2 + q$，其中 $p$ 和 $q$ 为整数：

(a) 求 $p$ 和 $q$ 的值。

(b) 由此用代数积分法证明

$\int \frac{8x + 5}{\sqrt{4x^2 + 4x + 17}}\, dx = 2\sqrt{4x^2 + 4x + 17} + \frac{1}{2}\ln(2x + 1 + \sqrt{4x^2 + 4x + 17})$

2.2 部分分式分解

定理：部分分式

任何真有理函数 $\frac{sx+r}{x^2+px+q}$ 可以分解为：

1. 线性因子：$\frac{A}{x-a}$
2. 重复线性因子：$\frac{A}{(x-a)^n}$
3. 不可约二次因子：$\frac{Ax+B}{x^2+px+q}$

例题

求 $\int \frac{2x+3}{x^2+4x+3}\, dx$

3. 高级换元技巧

3.1 三角换元

关键洞察：三角换元

当积分涉及二次表达式的平方根时，表达式的形式暗示了应使用哪种三角换元：

• 对于 $\sqrt{a^2 - x^2}$：使用 $x = a\sin\theta$ 或 $x = a\cos\theta$
• 对于 $\sqrt{x^2 + a^2}$：使用 $x = a\tan\theta$
• 对于 $\sqrt{x^2 - a^2}$：使用 $x = a\sec\theta$

例题：基本三角换元

求 $\int \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}$。

3.2 双曲换元

关键洞察：双曲换元

双曲换元在处理以下情况时特别有用：

• 对于 $\sqrt{x^2 - a^2}$：使用 $x = a\cosh\theta$（当 $|x| > a$ 时）
• 对于 $\sqrt{x^2 + a^2}$：使用 $x = a\sinh\theta$
• 对于 $\sqrt{a^2 - x^2}$：使用 $x = a\tanh\theta$（当 $|x| < a$ 时）

这些换元与三角换元类似，但通常更适合某些类型的表达式。

例题：Q04 WFM03/01，2021年1月

利用换元 $x = 4\cosh\theta$ 证明

$\int \frac{1}{(x^2 - 16)^{3/2}}\, dx = \frac{ax}{\sqrt{x^2 - 16}} + c, \qquad |x| > 4$

提示： $\frac{d}{dx}(\coth x) = -\operatorname{csch}^2 x$

3.3 代数换元与参数化

例题：Q08 WFM03/01，2021年10月

已知 $y = \arccos(2\sqrt{x})$：

(a) 求 $\frac{dy}{dx}$。

(b) 证明

$\int y \, dx = x \arccos(2\sqrt{x}) + \int \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{1-4x}} \, dx$

(c) 利用换元 $\sqrt{x} = \frac{1}{2}\cos\theta$ 证明

$\int_0^{\frac{1}{8}} \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{1-4x}}\, dx = \frac{1}{4} \int_a^b \cos^2\theta\, d\theta$

其中 $a$ 和 $b$ 为待定积分限。

(d) 由此求

$\int_0^{\frac{1}{8}} \arccos(2\sqrt{x})\, dx$

的精确值。

4. 高级分部积分

4.1 反函数的积分

例题：$\arccos x$ 的积分

求 $\int \arccos x\,dx$。

提示： 令 $u = \arccos x$，$v = x$，应用分部积分。

例题：$\operatorname{arcosh} x$ 的积分

求 $\int \operatorname{arcosh} x\,dx$，其中 $x > 1$。

注： 与 $\arccos$ 积分比较——观察形式的相似性和符号的差异。

$e^x\sin^n x$ 型积分的策略

当积分指数函数与三角函数的乘积时：

1. 选择指数部分或三角部分作为 $u$
2. 选择会影响后续步骤的复杂度
3. 寻找可能导致递推公式的模式

例题：$\int e^x\sin^2 x\,dx$

1. 令 $u = \sin^2 x$，$dv = e^x\,dx$

2. 则 $du = 2\sin x\cos x\,dx$，$v = e^x$

3. 利用分部积分：

   $$\begin{aligned} \int e^x\sin^2 x\,dx &= e^x\sin^2 x - \int e^x(2\sin x\cos x)\,dx \\ &= e^x\sin^2 x - 2\int e^x\sin x\cos x\,dx \end{aligned}$$

4. 对剩余积分，令 $u = \sin x$，$dv = e^x\cos x\,dx$：

   $$\begin{aligned} \int e^x\sin x\cos x\,dx &= e^x\sin x\cos x - \int e^x(\cos^2 x - \sin^2 x)\,dx \\ &= e^x\sin x\cos x - \int e^x\,dx + 2\int e^x\sin^2 x\,dx \end{aligned}$$

5. 代回：

   $\int e^x\sin^2 x\,dx = e^x\sin^2 x - 2[e^x\sin x\cos x - e^x + 2\int e^x\sin^2 x\,dx]$

6. 令 $I = \int e^x\sin^2 x\,dx$。则：

   $$\begin{aligned} I &= e^x\sin^2 x - 2[e^x\sin x\cos x - e^x + 2I] \\ I &= e^x\sin^2 x - 2e^x\sin x\cos x + 2e^x - 4I \\ 5I &= e^x\sin^2 x - 2e^x\sin x\cos x + 2e^x \\ I &= \frac{e^x}{5}(2 + \sin^2 x - 2\sin x\cos x) + C \end{aligned}$$

4.2 递推公式

递推公式简介

递推公式是积分之间的关系，允许我们将复杂积分化简为更简单的积分。基本思路是：

1. 将积分表示为同类型更简单积分的形式
2. 重复使用公式直到达到已知积分
3. 合并结果得到最终答案

例题：$x^n e^x$ 的递推公式

设 $J_n = \int x^n e^x\,dx$。求递推公式并用它计算 $\int x^3 e^x\,dx$。

(i) 用分部积分，令 $u = x^n$，$dv = e^x\,dx$：

$$\begin{aligned} J_n &= x^n e^x - n\int x^{n-1} e^x\,dx \\ &= x^n e^x - nJ_{n-1} \end{aligned}$$

(ii) 对于 $\int x^3 e^x\,dx$：

$$\begin{aligned} J_3 &= x^3 e^x - 3J_2 \\ J_2 &= x^2 e^x - 2J_1 \\ J_1 &= xe^x - J_0 \\ J_0 &= e^x \end{aligned}$$

(iii) 因此：

$$\begin{aligned} J_3 &= x^3 e^x - 3(x^2 e^x - 2(xe^x - e^x)) \\ &= e^x(x^3 - 3x^2 + 6x - 6) \end{aligned}$$

例题：$\sin^n x$ 的递推公式

设 $I_n = \int \sin^n x\,dx$。求 $I_n$ 的递推公式并用它计算 $\int \sin^4 x\,dx$。

(i) 令 $u = \sin^{n-1} x$，$dv = \sin x\,dx$。

(ii) 则 $du = (n-1)\sin^{n-2} x\cos x\,dx$，$v = -\cos x$。

(iii) 利用分部积分：

$$\begin{aligned} I_n &= \int \sin^n x\,dx = \int \sin^{n-1} x\sin x\,dx \\ &= -\sin^{n-1} x\cos x + (n-1)\int \sin^{n-2} x\cos^2 x\,dx \end{aligned}$$

(iv) 利用 $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$：

$$\begin{aligned} I_n &= -\sin^{n-1} x\cos x + (n-1)\int \sin^{n-2} x(1 - \sin^2 x)\,dx \\ &= -\sin^{n-1} x\cos x + (n-1)I_{n-2} - (n-1)I_n \end{aligned}$$

(v) 因此：

$$\begin{aligned} nI_n &= -\sin^{n-1} x\cos x + (n-1)I_{n-2} \\ I_n &= -\frac{1}{n}\sin^{n-1} x\cos x + \frac{n-1}{n}I_{n-2} \end{aligned}$$

(vi) 对于 $\int \sin^4 x\,dx$：

$$\begin{aligned} I_4 &= -\frac{1}{4}\sin^3 x\cos x + \frac{3}{4}I_2 \\ I_2 &= -\frac{1}{2}\sin x\cos x + \frac{1}{2}x \end{aligned}$$

因此：

$$\begin{aligned} I_4 &= -\frac{1}{4}\sin^3 x\cos x + \frac{3}{4}\left(-\frac{1}{2}\sin x\cos x + \frac{1}{2}x\right) \\ &= -\frac{1}{4}\sin^3 x\cos x - \frac{3}{8}\sin x\cos x + \frac{3}{8}x \end{aligned}$$

递推公式的类型

递推公式通常以以下几种形式出现：

1. 三角幂次：$\int \sin^n x\,dx$，$\int \cos^n x\,dx$
2. 混合函数：$\int e^x\sin^n x\,dx$
3. 带根式的有理函数：$\int \frac{x^n}{\sqrt{a^2 \pm x^2}}\,dx$
4. 复合函数：$\int x^n f(x^m)\,dx$

例题：带根式的有理函数的递推公式

对于 $I_n = \int \frac{x^n}{\sqrt{10 - x^2}}\, dx$，证明：

$nI_n = 10(n-1)I_{n-2} - x^{n-1}\sqrt{10 - x^2}, \qquad n \geq 2$

策略：

1. 将 $x^n$ 拆分为 $x \cdot x^{n-1}$ 以使用分部积分
2. 寻找可以合并为原积分的项

例题：混合函数的递推公式

对于 $I_n = \int e^x \sin^n x\,dx$，证明：

$I_n = \frac{e^x \sin^{n-1} x}{n^2 + 1}(\sin x - n\cos x) + \frac{n(n-1)}{n^2 + 1}I_{n-2}, \qquad n \geq 2$

策略：

1. 使用两次分部积分
2. 寻找会回到原积分的模式
3. 收集含 $I_n$ 和 $I_{n-2}$ 的项

例题：复合函数的递推公式

对于 $I_n = \int_0^{\sqrt{\pi/2}} x^n \cos(x^2)\,dx$，证明：

$I_n = \frac{1}{2}\left(\frac{\pi}{2}\right)^{\frac{n-1}{2}} - \frac{1}{4}(n-1)(n-3)I_{n-4}, \qquad n \geq 5$

策略：

1. 将 $x^n$ 拆分为 $x^{n-1} \cdot x$ 以使用分部积分
2. 寻找使用换元 $u = x^2$ 的机会
3. 计算边界项时注意积分限

应用： 求 $I_5$。

递推公式技巧

1. 始终寻找暗示分部积分的模式
2. 处理幂次时，尝试拆分为更低的幂次
3. 对于混合函数，考虑对哪部分求导
4. 留意使用标准恒等式的机会
5. 注意定义域限制
6. 记得验证初始条件

5. 积分的应用

5.1 弧长

定理：弧长公式

曲线 $y = f(x)$ 从 $x = a$ 到 $x = b$ 的长度为：

$L = \int_a^b \sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2}\, dx$

证明一：利用微小线段

考虑曲线的一个微小线段：

• 水平位移为 $dx$

• 垂直位移为 $dy$

• 由勾股定理，线段长度 $ds$ 为：

  $ds = \sqrt{(dx)^2 + (dy)^2} = \sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2}\,dx$

• 当 $dx \to 0$ 时，总长度为所有此类线段之和：

  $L = \int_a^b ds = \int_a^b \sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2}\, dx$

证明二：利用参数化

考虑曲线的参数表示：

$x = x(t), \quad y = y(t), \quad a \leq t \leq b$

• 速度矢量为 $\vec{v}(t) = (x'(t), y'(t))$

• 速率为 $|\vec{v}(t)| = \sqrt{(x'(t))^2 + (y'(t))^2}$

• 弧长为速率的积分：

  $L = \int_a^b \sqrt{(x'(t))^2 + (y'(t))^2}\, dt$

• 对于 $y = f(x)$，可取 $t = x$ 为参数：$x = t,\ y = f(t) \implies x'(t) = 1,\ y'(t) = f'(t)$

• 这给出：

  $L = \int_a^b \sqrt{1 + (f'(x))^2}\, dx = \int_a^b \sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2}\, dx$

例题：半圆的弧长

曲线 C 的方程为 $y = \sqrt{9 - x^2}$，$0 \leq x \leq 3$。求其长度。

(i) $\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{\sqrt{9-x^2}}$

(ii) 弧长为：

$\int_0^3 \sqrt{1 + \frac{x^2}{9-x^2}}\, dx = \int_0^3 \sqrt{\frac{9}{9-x^2}}\, dx = \int_0^3 \frac{3}{\sqrt{9-x^2}}\, dx = \left[3\arcsin\left(\frac{x}{3}\right)\right]_0^3$

(iii) 因此：

$L = 3\arcsin(1) - 3\arcsin(0) = \frac{3\pi}{2}$

例题：含自然对数的弧长

曲线 C 的方程为 $y = 2 + \ln(1 - x^2)$，$\frac{1}{2} \leq x \leq \frac{3}{4}$。证明其长度为 $p + \ln q$，其中 $p$ 和 $q$ 为有理数。

5.2 旋转曲面的表面积

定理：表面积公式

当曲线 $y = f(x)$ 从 $x = a$ 到 $x = b$ 绕 $x$ 轴旋转时，表面积为：

$S = 2\pi\int_a^b y\sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2}\, dx$

证明

考虑曲线的一个微小线段：

• 斜边长度为 $ds = \sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2}\,dx$
• 旋转时形成半径为 $y$ 的截锥
• 表面积微元为 $2\pi y\,ds$
• 积分得到总表面积

例题：旋转曲面的表面积

求曲线 $y = \sqrt{9 - x^2}$，$0 \leq x \leq 3$ 绕 $x$ 轴旋转时的表面积。

(i) 由前例：

$\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{\sqrt{9-x^2}} \quad \text{且} \quad \sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2} = \frac{3}{\sqrt{9-x^2}}$

(ii) 表面积为：

$S = 2\pi\int_0^3 \sqrt{9-x^2} \cdot \frac{3}{\sqrt{9-x^2}}\, dx = 6\pi\int_0^3\, dx = 18\pi$

弧长与表面积技巧

1. 始终寻找积分前简化的机会
2. 对含根式的表达式考虑三角换元或双曲换元
3. 注意表面积问题中的约分
4. 注意定义域限制
5. 记住表面积公式假设 $y$ 值为正

6. 练习题

练习 1

用微积分求以下积分的精确值

$\int_{-2}^1 \frac{1}{x^2 + 4x + 13}\, dx$

（5 分）答案以 $\pi$ 的倍数表示。

练习 2

已知 $y = \operatorname{arsinh}(\sqrt{x})$，$x > 0$：

(a) 求 $\frac{dy}{dx}$，答案化为最简分数。（3 分）

(b) 由此或用其他方法求

$\int_{\frac{1}{4}}^4 \frac{1}{\sqrt{x(x+1)}}\, dx$

答案以 $\ln\left(\frac{a+b\sqrt{5}}{2}\right)$ 的形式表示，其中 $a$ 和 $b$ 为整数。（6 分）

练习 3

设 $I_n = \int_0^5 \frac{x^n}{\sqrt{25-x^2}}\, dx$，$n \geq 0$。

(a) 求 $\int \frac{x}{\sqrt{25-x^2}}\, dx$ 的表达式，$0 \leq x \leq 5$。（2 分）

(b) 利用 (a) 的答案或用其他方法证明

$I_n = \frac{25(n-1)}{n}I_{n-2}, \qquad n \geq 2$

（5 分）

(c) 求 $I_4$，以 $k\pi$ 的形式表示，其中 $k$ 为分数。（4 分）

练习 4

曲线 C 的方程为

$y = \frac{1}{3}\cosh 3x, \quad 0 \leq x \leq \ln a$

其中 $a$ 为常数且 $a > 1$。

用微积分证明曲线 C 的长度为 $k\left(a^3 - \frac{1}{a^3}\right)$，并说明常数 $k$ 的值。（6 分）

练习 5

设 $I_n = \int_0^{a} (a-x)^n \cos x\,dx$，$a > 0$，$n \geq 0$。

(a) 证明当 $n \geq 2$ 时，

$I_n = na^{n-1} - n(n-1)I_{n-2}$

（5 分）

(b) 由此计算

$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \left(\frac{\pi}{2} - x\right)^2 \cos x\,dx$

（3 分）

练习 6

一段椭圆曲线的参数方程为：

$x = 3\cos\theta, \quad y = 5\sin\theta, \quad 0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$

该曲线绕 $x$ 轴旋转 $2\pi$ 弧度。

(a) 证明生成的表面积为

$k\pi\int_0^a \sqrt{16c^2 + 9}\, dc, \quad \text{其中 } c = \cos\theta$

其中 $a, k$ 为待定常数。（6 分）

(b) 利用换元 $c = \frac{3}{4}\sinh u$ 或用其他方法计算该积分，展示所有步骤，最终答案保留 3 位有效数字。（5 分）

挑战题：加百列号角

考虑曲线 $y = \frac{1}{x}$（$x \geq 1$）绕 $x$ 轴旋转形成的立体。这个形状被称为加百列号角（Gabriel’s Horn）或托里切利小号（Torricelli’s Trumpet）。

(a) 证明该立体的体积是有限的。

(b) 证明其表面积是无限的。

(c) 解释为什么这个立体可以”用有限的油漆填满，但需要无限的油漆来覆盖其表面”。

拓展： 搜索 科赫雪花（Koch snowflake），研究科赫雪花与加百列号角的异同。