C 数列与级数

模块 C：数列与级数

对应考纲 Section 1: MM2.1, MM2.2, MM2.3, MM2.4 对应 Paper: P1 重点（数列通项、求和公式），P2 综合（递推关系、收敛性分析） 建议课时: 2 课时 | 目标题量: 21 题

📋 模块概览

小节	内容	对应考纲	历年真题频率	课时
C1	数列通项与递推	MM2.1	8 年 12 次	0.5
C2	等差数列	MM2.2	8 年 6 次	0.5
C3	等比数列与无穷和	MM2.3	8 年 8 次	0.5
C4	二项式展开	MM2.4	8 年 5 次	0.5

C1 数列通项与递推 [MM2.1]

1.1 数列的定义方式

通项公式法：给出 $a_n$ 的显式表达式，如 $a_n = 2n - 1$ 。

递推关系法：给出前项与后项的关系，如 $x_{n+1} = f(x_n)$ 。

TMUA 中常见的递推形式：

线性递推： $x_{n+1} = ax_n + b$
分式递推： $x_{n+1} = \dfrac{ax_n + p}{bx_n + q}$ （需找不动点）
导数递推： $f_{n+1}(x) = x \cdot f_n'(x)$

1.2 递推数列找周期规律

核心技巧：计算前若干项，观察是否出现重复或周期。

典型例（2017 P1 Q11）：递推 $x_{n+1} = \dfrac{23x_n - 53}{5x_n + 1}$ ，前三项为 $7, 3, 1$ ，继续计算发现周期为 $7, 3, 1, -5, 7, \ldots$ ，四项循环。

判断周期的方法：

计算前 5-10 项
若某项与首项相同，可能开始循环
验证周期长度

C2 等差数列 [MM2.2]

2.1 基本公式

公式	形式	说明
通项	$a_n = a + (n-1)d$	$a$ 为首项， $d$ 为公差
前 $n$ 项和	$S_n = \dfrac{n}{2}[2a + (n-1)d]$	需记住
前 $n$ 项和（简化）	$S_n = \dfrac{n}{2}(a + a_n)$	首末项平均
前 $n$ 个自然数和	$1 + 2 + \cdots + n = \dfrac{n(n+1)}{2}$	常用特例

2.2 等差数列的性质

性质一：若 $m + n = p + q$ ，则 $a_m + a_n = a_p + a_q$ 。

性质二： $S_n$ 是关于 $n$ 的二次函数（无常数项）。

性质三： $a, b, c$ 成等差 $\Leftrightarrow 2b = a + c$ 。

⚠️ 易错： $S_n$ 公式中是 $\dfrac{n}{2}$ ，不是 $\dfrac{n-1}{2}$ 。

C3 等比数列与无穷和 [MM2.3]

3.1 基本公式

公式	形式	说明
通项	$a_n = ar^{n-1}$	$a$ 为首项， $r$ 为公比
前 $n$ 项和	$S_n = a\dfrac{1 - r^n}{1 - r}$ （ $r \neq 1$ ）	或 $a\dfrac{r^n - 1}{r - 1}$
无穷和	$S_\infty = \dfrac{a}{1 - r}$	仅当 $

3.2 无穷和的收敛性

收敛条件： $|r| < 1$ ，即 $-1 < r < 1$ 。

判定技巧：

若 $r$ 含 $\sqrt{3}$ ，需判断 $\dfrac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866 < 1$
若题目给出无穷和存在，隐含 $|r| < 1$

3.3 等比数列的幂次变形

平方数列：原数列 $a, ar, ar^2, \ldots$ 的平方为 $a^2, a^2r^2, a^2r^4, \ldots$ ，仍是等比数列，公比为 $r^2$ 。

立方数列：公比为 $r^3$ 。

性质： $|r| < 1 \Rightarrow |r^k| < 1$ （ $k \geq 1$ ），故平方、立方数列仍收敛。

C4 二项式展开 [MM2.4]

4.1 二项式定理

$(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$

其中 $\dbinom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!(n-k)!}$ 。

4.2 常用特例

$(1 + x)^n = \binom{n}{0} + \binom{n}{1}x + \binom{n}{2}x^2 + \cdots + \binom{n}{n}x^n$

杨辉三角： $\dbinom{n}{k} = \dbinom{n-1}{k-1} + \dbinom{n-1}{k}$ 。

常见组合数：

$\dbinom{3}{0}=1$ ， $\dbinom{3}{1}=3$ ， $\dbinom{3}{2}=3$ ， $\dbinom{3}{3}=1$
$\dbinom{4}{2}=6$ ， $\dbinom{5}{2}=10$

4.3 多项式展开中特定项系数

方法：将 $(a + bx + cx^2)^n$ 改写为 $(a + u)^n$ ，再展开 $u$ 的幂次。

技巧：观察 $x$ 的指数约束，分类计数。

C5 典型题型与解题策略 [MM2.1-MM2.4]

题型 A：等差与等比数列综合

特征：给出两个数列的前几项，其中一个为等差、另一个为等比。

策略：

由等比数列确定 $q$ 与 $p$ 的关系
由等差数列建立方程
联立求解

典型：2017 P1 Q7（等差前三项 $p, q, p^2$ ，等比前三项 $p, p^2, q$ ）

题型 B：无穷和的综合计算

特征：给出原数列、平方数列、立方数列的无穷和，求解未知项。

策略：

利用 $S_\infty = \dfrac{a}{1-r}$ 列方程
平方数列公比为 $r^2$
联立求解 $a$ 和 $r$

典型：2018 P1 Q8（无穷和 6，平方和 12，求立方和）

题型 C：含 $(-1)^n$ 的数列求和

特征：通项含 $(-1)^n$ ，出现交替项。

策略：

化简通项为 $C \cdot (-1)^n$ 形式
利用奇偶项对称性求和
若项数为偶数，可直接配对

典型：2016 P1 Q4（ $a_n = (-1)^n - (-1)^{n-1} + (-1)^{n+2}$ ）

⚡ 速解技巧汇总

场景	技巧
递推找周期	计算 5-10 项，观察循环
等差数列前 $n$ 项和	用 $S_n = \dfrac{n}{2}(a + a_n)$ 避免记忆复杂公式
等比无穷和	先验证 $
含 $(-1)^n$ 的通项	化简为 $C \cdot (-1)^n$ ，奇偶项配对求和
平方数列公比	原公比 $r$ 的平方 $r^2$
二项式特定项系数	利用组合数公式 $\dbinom{n}{k}$ 直接计算
等差与等比联立	等比给出变量关系，等差建立方程

⚠️ 易错警示

❌ $(-1)^{n-1} = -(-1)^n$ （负一次幂等于负号），不是 $(-1)^n \cdot (-1)$
❌ 等差数列前 $n$ 项和公式中的因子是 $\dfrac{n}{2}$ ，不是 $\dfrac{n-1}{2}$
❌ 等比数列无穷和仅在 $|r| < 1$ 时成立，忘记验证收敛性
❌ 平方数列的首项是 $a^2$ ，不是 $a$ ；公比是 $r^2$ ，不是 $r$
❌ 二项式展开中 $\dbinom{n}{k}$ 计算出错，尤其是 $n$ 较大时
❌ 递推数列找周期时，计算项数不足，漏掉周期起点

📝 精选例题

例题 1（2017 P1 Q7 · 等差与等比综合）

题目：等差数列前三项为 $p, q, p^2$ （ $p < 0$ ），等比数列前三项为 $p, p^2, q$ 。求等差数列前 10 项和。

【题目分析】本题需要联立等差与等比数列的定义，通过已知前三项建立方程，解出 $p$ 和 $q$ ，再代入等差数列求和公式。

【解题步骤】第一步：利用等比数列确定 $q$ 与 $p$ 的关系 $r = \dfrac{p^2}{p} = p, \quad q = p \cdot r = p^3$

第二步：利用等差数列建立方程公差 $d = q - p = p^3 - p$ ，第三项 $p + 2d = p^2$ ： $p + 2(p^3 - p) = p^2 \quad \Rightarrow \quad 2p^3 - p^2 - p = 0$

第三步：因式分解求解 $p(2p+1)(p-1) = 0$ 由 $p < 0$ 且 $p \neq 0$ ，得 $p = -\dfrac{1}{2}$ 。

第四步：计算等差数列参数 $q = p^3 = -\dfrac{1}{8}, \quad d = q - p = \dfrac{3}{8}$

第五步：求前 10 项和 $S_{10} = \dfrac{10}{2}\left[2 \cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right) + 9 \cdot \dfrac{3}{8}\right] = 5 \times \dfrac{19}{8} = \dfrac{95}{8}$

【快捷思路】等比数列直接给出 $q = p^3$ ，代入等差数列条件消去 $q$ ，一步到位建立 $p$ 的方程。 $2p^3 - p^2 - p = 0$ 的因式分解是关键。

【正确答案】B（ $\dfrac{95}{8}$ ）

【知识点】Sequences and Series | 考纲: MM2.1, MM2.2, MM2.3

例题 2（2017 P2 Q3 · 等比数列无穷和）

题目：等比数列首项为 $2\sqrt{3}$ ，第四项为 $\dfrac{9}{4}$ 。求无穷项之和。

【题目分析】已知首项和第四项，先求公比 $r$ ，再验证 $|r| < 1$ 确保收敛，最后用无穷和公式计算。

【解题步骤】第一步：由第四项求公比 $ar^3 = 2\sqrt{3}\,r^3 = \dfrac{9}{4} \quad \Rightarrow \quad r^3 = \dfrac{9}{8\sqrt{3}} = \dfrac{9\sqrt{3}}{24} = \dfrac{3\sqrt{3}}{8}$

第二步：识别 $r^3$ 为完全立方数 $\dfrac{3\sqrt{3}}{8} = \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^3 \quad \Rightarrow \quad r = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$

第三步：验证收敛性 $|r| = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866 < 1 \quad \text{收敛}$

第四步：求无穷和 $S_\infty = \dfrac{2\sqrt{3}}{1 - \dfrac{\sqrt{3}}{2}} = \dfrac{4\sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}}$

有理化分母： $\dfrac{4\sqrt{3}(2 + \sqrt{3})}{(2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3})} = 4\sqrt{3}(2 + \sqrt{3}) = 4(2\sqrt{3} + 3)$

【快捷思路】识别 $\dfrac{3\sqrt{3}}{8} = \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^3$ 是核心技巧，避免了开立方运算。有理化时注意 $(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}) = 4 - 3 = 1$ 。

【正确答案】G（ $4(2\sqrt{3} + 3)$ ）

【知识点】Sequences and Series | 考纲: MM2.3

例题 3（2018 P1 Q8 · 等比数列的幂次变形）

题目：等比数列的无穷和为 6，各项平方的无穷和为 12。求各项立方后的无穷和。

【题目分析】设原数列首项 $a$ 、公比 $r$ 。平方数列首项 $a^2$ 、公比 $r^2$ 。立方数列首项 $a^3$ 、公比 $r^3$ 。联立方程求解。

【解题步骤】第一步：列方程 $\dfrac{a}{1-r} = 6 \quad \cdots (1)$ $\dfrac{a^2}{1-r^2} = 12 \quad \cdots (2)$

第二步：利用式 (1) 化简式 (2) $\dfrac{a^2}{(1+r)(1-r)} = 12 \quad \Rightarrow \quad \dfrac{a}{1+r} \cdot \dfrac{a}{1-r} = 12$

代入式 (1)： $\dfrac{a}{1+r} \cdot 6 = 12$ ，即 $\dfrac{a}{1+r} = 2$ 。

第三步：联立求解由式 (1)： $a = 6 - 6r$ 由式 (2)： $a = 2 + 2r$

联立： $6 - 6r = 2 + 2r \quad \Rightarrow \quad r = \dfrac{1}{2}$ ， $a = 3$ 。

第四步：求立方数列的无穷和 $\dfrac{a^3}{1-r^3} = \dfrac{27}{1 - \dfrac{1}{8}} = \dfrac{27}{\dfrac{7}{8}} = \dfrac{216}{7}$

【快捷思路】由 $\dfrac{a^2}{1-r^2} = 12$ 和 $\dfrac{a}{1-r} = 6$ 两式相除得 $\dfrac{a}{1+r} = 2$ ，与 $a = 6 - 6r$ 联立一步求解。立方数列公比为 $\dfrac{1}{8}$ ，首项为 $27$ 。

【正确答案】D（ $\dfrac{216}{7}$ ）