S3 第二章：随机变量的组合

定义与定理

定义：正态分布（Normal Distribution） 随机变量 $X$ 服从均值为 $\mu$ 、方差为 $\sigma^2$ 的正态分布，记作 $X \sim N(\mu,\sigma^2).$

$\mu$ ：中心/位置（期望值），
$\sigma$ ：离散程度/典型偏差，
$\sigma^2$ ：方差。

定理：期望的线性性（Linearity of Expectation） 对任意随机变量 $X_1,\ldots,X_n$ 和常数 $a_1,\ldots,a_n,b$ ， $E\!\left(\sum_{i=1}^{n} a_iX_i + b\right)=\sum_{i=1}^{n}a_iE(X_i)+b.$ 不需要独立性假设。

定理：独立条件下的方差规则（Variance Rules Under Independence） 如果 $X$ 和 $Y$ 独立，则 $\text{Var}(X+Y)=\text{Var}(X)+\text{Var}(Y).$ 对于独立的 $X_1,\ldots,X_n$ ， $\text{Var}\!\left(\sum_{i=1}^{n}a_iX_i\right)=\sum_{i=1}^{n}a_i^2\text{Var}(X_i).$

定理：独立正态变量的线性组合（Linear Combination of Independent Normals） 如果 $X_1,\ldots,X_n$ 独立且 $X_i\sim N(\mu_i,\sigma_i^2),$ 则对于常数 $a_1,\ldots,a_n$ ， $L=\sum_{i=1}^{n}a_iX_i$ 服从正态分布，且 $E(L)=\sum_{i=1}^{n}a_i\mu_i,\quad \text{Var}(L)=\sum_{i=1}^{n}a_i^2\sigma_i^2.$

正态分布：模型与直觉

学习目标

读取并解释 $X \sim N(\mu,\sigma^2)$ 。
将均值和方差与现实情境联系起来。
标准化为 $Z$ 分布以进行概率计算。

定义与记号

标准化与概率

如果 $X \sim N(\mu,\sigma^2)$ ，定义 $Z=\frac{X-\mu}{\sigma}\sim N(0,1).$

则 $P(X\le x)=P\!\left(Z\le \frac{x-\mu}{\sigma}\right).$

例题

例题：电池重量

假设电池重量 $W \sim N(75,\,3^2)$ 克。 $P(W>80) = P\!\left(Z>\frac{80-75}{3}\right) = P(Z>1.667).$ 因此问题转化为标准正态分布查表。

例题：对冲交易：美团与阿里巴巴的期望收益

设

$M$ ：美团股票的一日收益率 (%)
$A$ ：阿里巴巴股票的一日收益率 (%)

一位交易员构建了一个对冲组合： $P=M-0.7A$ （做多美团，做空 0.7 单位阿里巴巴）。

假设 $E(M)=0.40,\quad E(A)=0.25.$ 则 $E(P)=E(M)-0.7E(A)=0.40-0.7(0.25)=0.225.$ 所以对冲组合的期望一日收益率为 $0.225\%$ 。

例题：对冲组合方差：已知独立性

继续 $P=M-0.7A,$ 并假设 $\text{Var}(M)=2.25,\quad \text{Var}(A)=1.44.$ 如果题目说明 $M$ 和 $A$ 独立，则 $\text{Var}(P)=\text{Var}(M)+(-0.7)^2\text{Var}(A)=2.25+0.49(1.44)=2.9556.$ 因此 $\text{SD}(P)=\sqrt{2.9556}\approx 1.72.$ 要点： 在方差计算中，系数必须平方。

例题：对冲组合方差：未给出独立性

如果题目只给出 $\text{Var}(M)=2.25,\quad \text{Var}(A)=1.44,$ 但没有说明美团和阿里巴巴的收益率是否独立，则对于 $P=M-0.7A$ 你不能直接写 $\text{Var}(P)=2.25+0.49(1.44).$

如果收益率负相关，则 $P$ 的方差会变小，从而降低对冲组合的风险。

例题：血压读数的差值

早晚血压： $M\sim N(120,25),\quad E\sim N(115,36),$ 具有独立性。定义 $D=M-E$ 。

则 $E(D)=120-115=5,\quad \text{Var}(D)=25+36=61.$ 所以 $D\sim N(5,61).$

例题：加权组合

假设 $X\sim N(60,4)$ ， $Y\sim N(45,9)$ ，独立。设 $T=2X-3Y.$ 则 $E(T)=2(60)-3(45)=-15,$ $\text{Var}(T)=2^2(4)+(-3)^2(9)=16+81=97.$ 因此 $T\sim N(-15,97).$

样本均值作为一种组合

如果 $X_1,\ldots,X_n$ 是独立的 $N(\mu,\sigma^2)$ ，则 $\bar{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i$ 也服从正态分布，且 $\bar{X}\sim N\!\left(\mu,\frac{\sigma^2}{n}\right).$

这个单一结果是后续置信区间工作的核心基础。