FP3 第二章：进一步坐标系

FP3 讲义：椭圆与双曲线

引言

在前面的模块中，我们学习了抛物线和矩形双曲线，现在将注意力转向它们的”表亲”：椭圆和一般双曲线。这些曲线在自然界中频繁出现，从行星轨道到卫星天线，都有着令人着迷的应用。我们将通过离心率的概念发现这些曲线的统一性，并探索它们的几何性质。

章节概述

本章涵盖从方程识别椭圆和双曲线、求焦点、准线和离心率，以及求解轨迹问题。还包括求这些曲线的切线和法线。

考试重点

根据历年真题和考官报告，以下领域需要特别关注：

1. 微积分应用

• 参数微分 vs. 隐微分
• 求切线和法线方程
• 涉及圆锥曲线上点的面积计算

2. 几何理解

• 参数与形状的关系
• 负坐标的解释
• 轨迹问题的理解

3. 技术熟练度

• 正确使用标准形式
• 三角恒等式的运用
• 解题过程的清晰呈现

模块 2.1：椭圆

定义与标准形式

定义：椭圆

椭圆是通过用与圆锥轴线倾斜的平面截圆锥得到的闭合曲线。

标准形式

对于中心在原点的椭圆：

1. 直角坐标方程： $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$，其中 $a > b > 0$
2. 参数方程： $x = a\cos t$，$y = b\sin t$，其中 $0 \leq t < 2\pi$

例题：推导切线和法线方程

让我们用两种不同方法推导椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ 在点 $P(x_1, y_1)$ 处的切线方程。

用隐微分求切线

1. 两边对 $x$ 求导：

$\frac{2x}{a^2} + \frac{2y}{b^2}\frac{dy}{dx} = 0$

2. 解出 $\dfrac{dy}{dx}$：

$\frac{dy}{dx} = -\frac{b^2x}{a^2y}$

3. 在点 $P(x_1, y_1)$ 处，斜率为：

$m = -\frac{b^2x_1}{a^2y_1}$

4. 用点斜式 $y - y_1 = m(x - x_1)$：

$y - y_1 = -\frac{b^2x_1}{a^2y_1}(x - x_1)$

5. 两边乘以 $a^2y_1$：

$a^2y_1y - a^2y_1^2 = -b^2x_1x + b^2x_1^2$

6. 由于 $(x_1, y_1)$ 在椭圆上：$\dfrac{x_1^2}{a^2} + \dfrac{y_1^2}{b^2} = 1$

7. 化简后：

$\frac{xx_1}{a^2} + \frac{yy_1}{b^2} = 1$

用参数微分求切线

1. 使用参数方程：$x = a\cos t$，$y = b\sin t$

2. 求 $\dfrac{dy}{dx}$：

$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} = \frac{b\cos t}{-a\sin t} = -\frac{b\cos t}{a\sin t}$

3. 用点斜式：

$y - b\sin t = -\frac{b\cos t}{a\sin t}(x - a\cos t)$

4. 化简为：

$bx\cos t + ay\sin t = ab$

用参数形式求法线

1. 在点 $P(a\cos t, b\sin t)$ 处
2. 法线斜率：$\dfrac{a\sin t}{b\cos t}$
3. 建立方程：

$y - b\sin t = \frac{a\sin t}{b\cos t}(x - a\cos t)$

4. 化简为：

$ax\sin t - by\cos t = (a^2 - b^2)\cos t\sin t$

例题：求法线

求椭圆 $\dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{9} = 1$ 在 $P(5\cos\theta, 3\sin\theta)$ 处的法线。

第一步： 用参数微分求 $\dfrac{dy}{dx}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{3\cos\theta}{-5\sin\theta} = -\frac{3\cos\theta}{5\sin\theta}$

第二步： 用垂直斜率法则求法线斜率

$\text{法线斜率} = \frac{5\sin\theta}{3\cos\theta}$

第三步： 用点斜式建立方程

$y - 3\sin\theta = \frac{5\sin\theta}{3\cos\theta}(x - 5\cos\theta)$

第四步： 化简为标准形式

$5x\sin\theta - 3y\cos\theta = 16\sin\theta\cos\theta$

常见错误

• 别忘了取倒数并变号来求垂直斜率
• 展示清晰的点坐标代入过程
• 化简时包含中间步骤

应用：回音廊

某些建筑的椭圆形穹顶展现出有趣的声学特性：在一个焦点处的低语可以在另一个焦点处清晰听到。这是因为从一个焦点发出的声波被椭圆形表面反射到另一个焦点。

此原理应用于：

• 伦敦圣保罗大教堂
• 纽约中央车站
• 盐湖城摩门教堂

模块 2.2：双曲线

定义与标准形式

定义：双曲线

双曲线是通过用与圆锥轴线平行的平面截圆锥得到的两支分离曲线。

标准形式

对于中心在原点、横轴水平的双曲线：

1. 直角坐标方程： $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$，其中 $a, b > 0$
2. 参数方程： $x = a\cosh t$，$y = b\sinh t$，其中 $t \in \mathbb{R}$
3. 替代参数方程： $x = a\sec \theta$，$y = b\tan \theta$，其中 $-\pi \leq \theta < \pi$，$\theta \neq \pm\dfrac{\pi}{2}$

推导双曲线的切线和法线方程

引导练习：切线和法线方程

考虑双曲线 $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$。让我们用与椭圆类似的方法推导其切线和法线方程。

第一部分：使用隐微分

(a) 对双曲线方程关于 $x$ 求导

(b) 在点 $P(x_1,y_1)$ 处求 $\dfrac{dy}{dx}$

(c) 用点斜式写出切线方程

(d) 化简，证明切线方程为 $\dfrac{x_1x}{a^2} - \dfrac{y_1y}{b^2} = 1$

第二部分：使用参数形式

双曲线上的点可写为 $(a\cosh t, b\sinh t)$ 或 $(a\sec \theta, b\tan \theta)$：

(a) 用参数微分求 $\dfrac{dy}{dx}$

(b) 写出 $P(a\cosh t, b\sinh t)$ 或 $P(a\sec \theta, b\tan \theta)$ 处的切线方程

(c) 证明得到 $bx\cosh t - ay\sinh t = ab$ 或 $bx\sec \theta - ay\tan \theta = ab$

第三部分：求法线

(a) 用垂直斜率法则求法线斜率

(b) 写出 $P(a\cosh t, b\sinh t)$ 或 $P(a\sec \theta, b\tan \theta)$ 处的法线方程

(c) 证明得到 $ax\sinh t + by\cosh t = (a^2 + b^2)\sinh t\cosh t$ 或 $ax\sin \theta + by = (a^2 + b^2)\tan \theta$

提示：

• 利用 $P(x_1,y_1)$ 在双曲线上：$\dfrac{x_1^2}{a^2} - \dfrac{y_1^2}{b^2} = 1$
• 对于参数形式，回忆 $\cosh^2 t - \sinh^2 t = 1$ 和 $\sec^2 \theta - \tan^2 \theta = 1$

模块 2.3：离心率

从抛物线到离心率

回忆一下，对于抛物线，曲线上的任意点 $P$ 满足：

$PF = PM$

其中 $F$ 是焦点，$M$ 是 $P$ 到准线的垂足。

这引出一个自然的推广：如果我们考虑满足

$\frac{PF}{PM} = e$

的曲线，其中 $e$ 是某个常数？这个比值 $e$ 称为离心率。

不同离心率的可视化

$e = 0$	$0 < e < 1$	$e = 1$	$e > 1$
圆	椭圆	抛物线	双曲线

例题：推导椭圆方程

让我们用离心率定义推导椭圆的标准形式。

已知：

• 焦点 $F(c,0)$
• 准线 $x = \dfrac{a}{e}$
• 曲线上的点 $P(x,y)$
• $\dfrac{PF}{PM} = e$，其中 $0 < e < 1$

第一步： 用距离公式表示 $PF$

$PF = \sqrt{(x-c)^2 + y^2}$

第二步： 表示 $PM$

$PM = \frac{a}{e} - x$

第三步： 应用定义

$\frac{\sqrt{(x-c)^2 + y^2}}{\frac{a}{e} - x} = e$

第四步： 两边平方并化简

$(x-c)^2 + y^2 = e^2\!\left(\frac{a^2}{e^2} - \frac{2ax}{e} + x^2\right)$

第五步： 证明这简化为

$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$

其中 $b^2 = a^2(1-e^2)$。

引导练习：推导双曲线方程

现在轮到你了！按照类似步骤推导双曲线的标准形式。

已知：

• 焦点 $F(c,0)$
• 准线 $x = \dfrac{a}{e}$
• 曲线上的点 $P(x,y)$
• $\dfrac{PF}{PM} = e$，其中 $e > 1$

提示：

1. 关键区别是 $e > 1$
2. 你应该得到 $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$，其中 $b^2 = a^2(e^2-1)$

历史笔记：离心率的发现

你知道吗？ 哈雷彗星的离心率为 0.967，使其轨道呈高度椭圆形。这解释了为什么它每 76 年才能从地球上观测到一次！

综合练习：双曲线与离心率

考虑双曲线 $H$，方程为 $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{25} = 1$，其中 $a$ 为正常数。设 $e$ 为其离心率。

A 部分： 求 $e^2$ 关于 $a$ 的表达式。

B 部分： 直线 $l$ 是 $H$ 的准线，对应 $x > 0$ 的分支。点 $A$ 和 $A'$ 是 $l$ 与渐近线的交点。求 $|AA'|$ 关于 $e$ 的表达式。

C 部分： 点 $F$ 是 $H$ 的焦点，对应 $x < 0$ 的分支。已知三角形 $AFA'$ 的面积为 $\dfrac{164}{3}$，证明：

$30a^3 - 164a^2 + 375a - 4100 = 0$

D 部分： 用代数方法证明 $a = \dfrac{20}{3}$ 是唯一可能的值。

关键学习点：

• 离心率与常数 $a$ 和 $b$ 的关系
• 利用渐近线求与准线的交点
• 涉及焦点和准线的面积计算

模块 2.4：轨迹问题

轨迹问题简介

求满足某些条件的点的轨迹（路径）是一种常见问题类型。关键步骤是：

1. 确定动点和参数
2. 用参数表示坐标
3. 消去参数求轨迹方程

例题：求中点轨迹

考虑椭圆 $E$，方程为 $\dfrac{x^2}{9} + \dfrac{y^2}{4} = 1$，以及直线 $l: y = kx - 3$，其中 $k$ 为常数。让我们探索如何求 $E$ 和 $l$ 的交点所形成弦的中点轨迹。

逐步探究：

1. 求交点

• 将 $y = kx - 3$ 代入椭圆方程
• 证明 $x$ 满足：$(9k^2 + 4)x^2 - 54kx + 45 = 0$
• 这告诉我们交点的数量是多少？

2. 定位中点

• 若 $P(x_1,y_1)$ 和 $Q(x_2,y_2)$ 是交点
• 中点 $M$ 的坐标为 $\left(\dfrac{x_1+x_2}{2}, \dfrac{y_1+y_2}{2}\right)$
• 对于二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$，根之和 $= -\dfrac{b}{a}$

3. 求轨迹

• 表示 $M$ 的 $x$ 坐标：$x = \dfrac{27k}{9k^2+4}$
• 表示 $M$ 的 $y$ 坐标：$y = -\dfrac{12}{9k^2+4}$
• 消去参数 $k$ 求轨迹方程

关键洞察：

• 二次方程帮助我们无需显式求解即可找到交点
• 根的和与积提供了关于中点的信息
• 最终轨迹形式为 $x^2 + py^2 = qy$，其中 $p$ 和 $q$ 为常数

解答： 轨迹为 $x^2 + \dfrac{9}{4}y^2 = -\dfrac{27}{4}y$。

例题：求法线交点

考虑抛物线 $y^2 = 4ax$。设 $P(ap^2, 2ap)$ 和 $Q(aq^2, 2aq)$ 是抛物线上的两点，$R$ 是它们法线的交点。弦 $PQ$ 过焦点 $(a,0)$。

(a) 求点 $R$ 关于 $p$ 和 $q$ 的坐标。

(b) 证明 $pq = -1$。

(c) 证明 $R$ 的轨迹是方程为 $y^2 = a(x-3a)$ 的抛物线。

解答：

(a) 求 $R$ 的坐标：

• $P$ 处的法线：$y + px = 2ap + ap^3$
• $Q$ 处的法线：$y + qx = 2aq + aq^3$
• 联立方程求解：

$(p-q)x = 2a(p-q) + a(p^3-q^3)$

$x = 2a + a(p^2 + pq + q^2)$

$y = -apq(p+q)$

(b) 证明 $pq = -1$：

由于 $P$、$Q$ 和 $F(a,0)$ 共线：

$\frac{2ap-0}{ap^2-a} = \frac{2aq-0}{aq^2-a}$

$\frac{2p}{p^2-1} = \frac{2q}{q^2-1}$

$p(q^2-1) = q(p^2-1)$

$pq^2 - p = qp^2 - q$

$pq^2 - qp^2 = p - q$

$pq(q-p) = p - q$

$pq = -1$

(c) 求 $R$ 的轨迹：

利用 $pq = -1$：

$x = 3a + a(p+q)^2$

$y = a(p+q)$

令 $k = p+q$，则：

$x = 3a + ak^2$

$y = ak$

消去参数 $k$：

$y^2 = a(x-3a)$

因此，$R$ 的轨迹是方程为 $y^2 = a(x-3a)$ 的抛物线。

总结

要点

1. 椭圆和双曲线是通过离心率统一的圆锥曲线
2. 标准形式有助于识别和分析这些曲线
3. 实际应用包括：
   • 行星轨道（椭圆）
   • 卫星天线（抛物线）
   • 冷却塔（双曲线）
   • 导航系统（双曲线）
4. 理解切线和法线对应用至关重要

学生常见错误

• 当 $b > a$ 时混淆 $a$ 和 $b$
• 忘记在证明中说明步骤
• 求切线/法线时不展示中间步骤
• 错误应用垂直斜率法则
• 面积计算中错误处理负坐标

作业

E.O.C.1 (Q03 WFM03/01, Jan 2024)

椭圆 $E$ 的方程为 $\dfrac{x^2}{49} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$，其中 $b$ 为常数且 $0 < b < 7$。椭圆的离心率为 $e$。

(a) 仅用 $e$ 表示：

• 焦点坐标
• 准线方程

已知：

• 点 $P(x, y)$ 在 $E$ 上且 $x > 0$
• 点 $S$ 是 $E$ 在正 $x$ 轴上的焦点
• 直线 $l$ 是 $E$ 与正 $x$ 轴相交的准线
• 点 $M$ 在 $l$ 上，使得过 $P$ 和 $M$ 的直线平行于 $x$ 轴

(b) 对于 $E$ 上 $x > 0$ 的点 $P(x,y)$，求：

• $PS^2$ 关于 $e$、$x$ 和 $y$ 的表达式
• $PM^2$ 关于 $e$ 和 $x$ 的表达式

(c) 由此证明 $b^2 = 49(1-e^2)$。

(d) 已知 $E$ 与 $y$ 轴交于 $(0,\pm 4\sqrt{3})$，确定 $e$ 的值。

(e) 已知 $P$ 的 $x$ 坐标为 $\dfrac{7}{2}$，确定三角形 $OPM$ 的面积，其中 $O$ 为原点。

E.O.C.2 (6669/s11/01/8)

双曲线 $H$ 的方程为 $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$。

(a) 用微积分证明，$H$ 在点 $(a\cosh \theta, b\sinh \theta)$ 处的切线方程可写为：

$xb\cosh \theta - ya\sinh \theta = ab$

(b) 直线 $l_1$ 是 $H$ 在点 $(a\cosh \theta, b\sinh \theta)$ 处的切线，$\theta \neq 0$。已知 $l_1$ 与 $x$ 轴交于点 $P$，用 $a$ 和 $\theta$ 表示 $P$ 的坐标。

(c) 直线 $l_2$ 是 $H$ 在点 $(a,0)$ 处的切线。已知 $l_1$ 和 $l_2$ 交于点 $Q$，用 $a$、$b$ 和 $\theta$ 表示 $Q$ 的坐标。

(d) 证明，当 $\theta$ 变化时，$PQ$ 中点的轨迹方程为：

$x(4y^2 + b^2) = ab^2$

挑战题（选做）：坐标变换与圆锥曲线

考虑方程为 $xy = 1$ 的双曲线。我们将通过坐标变换证明它等价于标准形式的双曲线。

第一部分：矩阵表示

(a) 证明 $xy = 1$ 可写为二次型：

$\begin{bmatrix} x & y \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = 1$

(b) 解释为什么这个矩阵不是对角形式。

第二部分：坐标变换

(a) 已知：

$\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} X \\ Y \end{bmatrix}$

证明：

$\begin{bmatrix} x & y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} X & Y \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix}$

(b) 在此变换下，证明方程变为：

$\frac{X^2}{2} - \frac{Y^2}{2} = 1$

延伸问题： 如果考虑曲线 $xy = k$（$k \neq 0$），会发生什么？$k$ 的值如何影响双曲线的形状？

备注：矩阵对角化

1. 矩阵对角化

在第二部分中，我们找到了矩阵 $P = \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix}$，使得 $P^{-1}AP = D$，其中 $A = \begin{bmatrix} 0 & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & 0 \end{bmatrix}$，$D$ 为对角矩阵。这个过程称为矩阵对角化。

2. 矩阵对角化的几何意义

• 对角矩阵除主对角线外全为零
• 对于圆锥曲线，对角化意味着消去 $xy$ 项
• 这等价于旋转坐标系使其与主轴对齐

3. 圆锥曲线的标准形式

• 椭圆： $\dfrac{X^2}{A^2} + \dfrac{Y^2}{B^2} = 1$ 对应 $\begin{bmatrix} \frac{1}{A^2} & 0 \\ 0 & \frac{1}{B^2} \end{bmatrix}$

• 双曲线： $\dfrac{X^2}{A^2} - \dfrac{Y^2}{B^2} = 1$ 对应 $\begin{bmatrix} \frac{1}{A^2} & 0 \\ 0 & -\frac{1}{B^2} \end{bmatrix}$

我们将在后面的章节中重新讨论对角化的概念。