S3 第七章：国际考试复习

如何使用这份复习资料

这份讲义是 S3 各主题的高产出复习指南： 抽样 $\rightarrow$ 随机变量的组合 $\rightarrow$ 估计与置信区间 $\rightarrow$ 中心极限定理与均值检验 $\rightarrow$ 相关性 $\rightarrow$ $\chi^2$ 检验。

一分钟考试策略

1. 识别情境：分类数据还是数值数据？单样本还是双样本？是否独立？
2. 写出假设（通常 1 行）：随机样本 + 独立性 + 模型假设。
3. 选择方法：置信区间 / 检验 / 相关表 / $\chi^2$ 拟合优度 / $\chi^2$ 独立性。
4. 清晰计算：展示关键中间值（期望频率、$S_{xy}$、标准误、自由度）。
5. 结合情境得出结论：“在 5% 水平下有证据表明……”（而不是”$H_0$ 为真”）。

贯穿案例：HelloTea

我们将持续使用 HelloTea 来串联各知识点：

• 总体：所有学生（例如 3000 人）。
• 样本：例如通过某种抽样方法选取的 $n=200$ 名学生。
• 数据类型：评分（1—5）、饮品选择（茶/咖啡/热巧克力）、屏幕时间等。

第一章复习：抽样方法（获取优质数据）

核心思想

糟糕的抽样 $\Rightarrow$ 有偏的数据 $\Rightarrow$ 即使完美的计算也会得出错误的结论。

核心定义

定义：总体、样本、抽样框

• 总体（Population）：感兴趣的完整群体。
• 样本（Sample）：从总体中选取的观测值。
• 抽样框（Sampling Frame）：你实际可以从中抽样的清单。

必须掌握的四种方法

方法	随机？	如何操作	主要风险 / 局限
简单随机抽样（SRS）	是	使用随机数生成器 / 随机数表选取 $n$ 个编号	可能很耗时；可能偶然遗漏小子群
系统抽样（Systematic）	部分	选随机起点，然后每隔 $k$ 个取一个	周期性（清单中存在隐藏模式）
分层抽样（Stratified）	是（层内）	分成若干层，每层内做简单随机抽样	需要事先知道分层信息；步骤较多
配额抽样（Quota）	否	设定配额，然后在各配额内便利抽样	选择偏差；无法计算有效的抽样误差 / 推断保证

常见考试陷阱（来自考官报告）

• 遗漏编号步骤：在使用随机数之前，你必须明确说明将”对抽样框进行编号/标记（例如从 1 到 $N$）”。
• 系统抽样错误：如果周期为 $k$，学生常常忘记不能选取两个相邻项。
• 模糊表述：说某个方法”更准确”或”更有代表性”通常不得分。使用精确术语，如”反映总体结构”（分层抽样）或”给每个个体等概率的选取机会”（简单随机抽样）。
• 配额抽样 vs 分层抽样：配额抽样存在访问员偏差（interviewer bias）（由选择调查对象的人造成），这意味着无法计算有效的抽样误差。

练习：自测——抽样选择

HelloTea 想要收集全校的意见，但不同年级的学生光顾频率不同。

(a) 你会推荐哪种抽样方法？为什么？ (b) 如果调查通过”前 200 名路过商店的学生”进行，写出一种可能的偏差。

第二章复习：随机变量的组合

期望与方差的核心规则

线性组合

对于任意随机变量 $X$ 和 $Y$，以及常数 $a, b$：

• $E(aX \pm bY) = aE(X) \pm bE(Y)$（始终成立！）
• $\mathrm{Var}(aX \pm bY) = a^2\mathrm{Var}(X) + b^2\mathrm{Var}(Y)$（仅当 $X$ 和 $Y$ 独立时成立！）

最大的考试陷阱：$3X$ vs $X_1+X_2+X_3$

场景	记号	方差
”一个随机选取的袋子重量的 3 倍"	$3X$	$\mathrm{Var}(3X) = 3^2 \mathrm{Var}(X) = \mathbf{9\mathrm{Var}(X)}$
"3 个随机选取的袋子的总重量”	$X_1 + X_2 + X_3$	$\mathrm{Var}(X_1+X_2+X_3) = \mathbf{3\mathrm{Var}(X)}$

常见考试陷阱（来自考官报告）

• 方差相减：学生经常写 $\mathrm{Var}(X-Y) = \mathrm{Var}(X) - \mathrm{Var}(Y)$。这是错误的！对于独立变量，方差总是相加：$\mathrm{Var}(X-Y) = \mathrm{Var}(X) + \mathrm{Var}(Y)$。
• 变量的平均：要找 5 个观测值的样本均值 $A = \frac{X_1+...+X_5}{5}$ 的方差，你必须将分母平方：$\mathrm{Var}(A) = \frac{5\mathrm{Var}(X)}{25} = \frac{\mathrm{Var}(X)}{5}$。很多人错误地除以 5 而不是 25。
• 无方向的差值：如果题目要求重量”差值”大于 5g 的概率，你必须计算 $P(|X-Y| > 5) = P(X-Y > 5) + P(X-Y < -5)$（双尾）。
• 标准化符号错误：当将标准化公式 $Z = \frac{x-\mu}{\sigma}$ 等于临界值（例如 1.2816）时，确保符号匹配。如果概率区域暗示 $x$ 低于均值，$Z$ 必须为负！

练习：自测——组合

设 $X$ 和 $Y$ 为独立正态变量，其中 $X \sim N(50, 4)$，$Y \sim N(60, 5)$。

(a) 求 $W = 3X - Y$ 的均值和方差。 (b) 求 3 个随机选取的 $X$ 的总重量超过 155 的概率。

第三章复习：估计、偏差、标准误、置信区间

三个层次：参数、统计量、观测值

得分语言

• 参数（Parameter）（未知）：$\mu$，$\sigma^2$，$\rho$
• 统计量 / 估计量（Statistic / estimator）（随机）：$\bar{X}$，$S^2$，$r$
• 观测值（Observed value）（数值）：$\bar{x}=4.2$，$s^2=1.44$，$r=-0.41$

偏差

定义：偏差（Bias）

$$\mathrm{Bias}(\hat{\theta}) = E[\hat{\theta}] - \theta.$$

两个必知事实

• $E[\bar{X}] = \mu$（样本均值是无偏的）。
• $S^2 = \dfrac{1}{n-1}\sum (X_i-\bar{X})^2$ 对 $\sigma^2$ 是无偏的。

标准误（Standard Error, SE）

定义：标准误

$$\mathrm{SE}(\hat{\theta}) = \sqrt{\mathrm{Var}(\hat{\theta})}.$$

高产出标准误公式

$$\begin{aligned} \mathrm{SE}(\bar{X}) &= \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \quad \text{（如果 $\sigma$ 已知）}\\ \mathrm{SE}(\bar{X}) &\approx \frac{S}{\sqrt{n}} \quad \text{（如果 $\sigma$ 未知，$n$ 较大）}\\ \mathrm{SE}(\bar{X}-\bar{Y}) &\approx \sqrt{\frac{S_X^2}{n_X}+\frac{S_Y^2}{n_Y}} \quad \text{（独立样本，大样本）}。 \end{aligned}$$

置信区间（Confidence Interval, CI）

定义：一般形式

$$\text{估计值} \pm (\text{临界值}) \times (\text{标准误}).$$

均值置信区间（大样本 / 基于正态分布）

$$\mu \in \bar{x} \pm z^*\cdot \frac{S}{\sqrt{n}}.$$

常用值：$z^*=1.645$（90%），$1.96$（95%），$2.576$（99%）。

常见考试陷阱（来自考官报告）

• 错误解读：“有 95% 的概率 $\mu$ 在这个区间内”（表述不正确）。应该说：“我们有 95% 的把握认为真实的总体均值在这个区间内。”
• 混淆标准差和标准误：标准差描述单个个体；标准误描述估计量的变异性。计算标准误时别忘了除以 $\sqrt{n}$！
• 假设的符号：假设中始终使用总体参数（如 $\mu$），不要使用样本统计量（$\bar{x}$）。同时，清楚地定义下标（如 $\mu_A$ vs $\mu_B$）。
• 置信区间的二项过程：如果要求 $n$ 个计算出的置信区间中有 $Y$ 个包含 $\mu$ 的概率，你必须使用二项分布 $Y \sim B(n, \text{置信水平})$。

练习：小练习——偏差 + 标准误

设 $X_1,\ldots,X_n$ 为独立同分布，$E[X_i]=\mu$，$\mathrm{Var}(X_i)=\sigma^2$。

(a) 考虑 $T=\dfrac{X_1+2X_3+X_5}{4}$。求 $E[T]$ 以及 $T$ 对 $\mu$ 的偏差。 (b) 在独立性假设下求 $\mathrm{Var}(T)$。

第四章复习：中心极限定理与均值推断

中心极限定理（CLT）的实际含义

定理：中心极限定理（可用形式） 如果 $X_1,\ldots,X_n$ 为独立同分布，均值为 $\mu$，方差为 $\sigma^2<\infty$，则对于大的 $n$，

$$\bar{X} \approx N\!\left(\mu,\frac{\sigma^2}{n}\right).$$

何时可以使用 CLT（考试措辞）

• 随机样本，独立观测
• 同分布
• 样本量”足够大”（经验法则：$n\ge 30$，但需要考虑偏态）

单样本均值检验（大样本 $z$ 检验思路）

检验 $H_0:\mu=\mu_0$，

$$Z=\frac{\bar{x}-\mu_0}{S/\sqrt{n}} \approx N(0,1)\ \text{在 }H_0\text{ 下}\quad（n\text{ 较大时}）。$$

通过临界值或 $p$ 值做出决策。

两均值之差（独立样本）

如果两个独立的大样本：

$$\bar{X}-\bar{Y} \approx N\!\left(\mu_X-\mu_Y,\ \frac{\sigma_X^2}{n_X}+\frac{\sigma_Y^2}{n_Y}\right).$$

使用样本标准差估计标准误。

常见考试陷阱（来自考官报告）

• 解释 CLT：很多学生说”样本服从正态分布”而失分。你必须说”样本均值近似服从正态分布”。
• 合并样本：当要求将两个样本视为一个合并样本时，不要计算加权标准差。求新的总体均值，并为新的总样本量 $n_1+n_2$ 计算标准误。
• 在小 $n$ 时使用 CLT，而总体明显偏态/重尾。
• **忘记”独立样本”**用于两样本公式。
• 混淆单尾和双尾临界区域。

练习：自测——选择尾侧

HelloTea 声称平均满意度至少为 $4.0$。

(a) 写出 $H_0$ 和 $H_1$。 (b) 检验是单尾还是双尾？哪个方向？

第五章复习：相关性与秩相关

PMCC（皮尔逊）回顾

给定配对数据 $(x_i,y_i)$，$i=1,\ldots,n$，

$$r=\frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx}S_{yy}}},\quad S_{xy}=\sum xy-\frac{(\sum x)(\sum y)}{n}.$$

解读

• $r$ 仅度量线性关联。
• 离群值会强烈影响 $r$。

PMCC 检验（查表法）

• $H_0:\rho=0$
• 将 $|r|$ 与 $(n,\alpha)$ 对应的临界值比较。

PMCC 检验的关键假设

底层二元正态模型（通常表述为”(x,y) 来自二元正态总体”）。

斯皮尔曼秩相关

在以下情况使用秩：

• 关系是单调的但非线性的，或数据是有序的，或离群值破坏了皮尔逊方法。

如果没有并列秩，简捷公式：

$$r_s = 1-\frac{6\sum d^2}{n(n^2-1)}.$$

使用斯皮尔曼临界值表检验 $r_s$。

常见考试陷阱（来自考官报告）

• 并列秩：如果存在并列秩，你必须对秩使用完整的 PMCC 公式。$1-\frac{6\sum d^2}{n(n^2-1)}$ 简捷公式仅在没有并列时有效！
• 字母编码：当给出字母（如等级 A、B、C）时，学生有时按字母顺序排秩，而不是按实际值/顺序。
• 假设：始终用 $\rho$ 或 $\rho_s$ 表述假设。不要使用 $r$ 或仅用文字陈述。
• 结合情境的结论：仅说”存在相关性”是不够的。你必须包含方向和情境（例如”有证据表明年龄与价格之间存在正相关”）。
• 非线性关系：如果 PMCC 检验显示无显著相关，但斯皮尔曼检验显示显著相关，则强烈表明存在非线性关系。

练习：小练习——皮尔逊何时失效

给出一个现实情境，其中皮尔逊 $r$ 可能产生误导，但斯皮尔曼 $r_s$ 是合适的。 用一句话解释你的理由。

第六章复习：$\chi^2$ 检验（拟合优度与独立性）

$\chi^2$ 统量（两种检验结构相同）

$$\chi^2=\sum \frac{(O-E)^2}{E}.$$

五的法则（考试重点）

所有期望频率应至少为 5。 如果不满足，合并类别（并调整 $k$ 和自由度）。

拟合优度检验（GOF）

• 适用场景：一个分类变量，检验指定的分布/模型。
• 假设：$H_0$：模型拟合；$H_1$：模型不拟合。
• 自由度：$df=k-1-m$，其中 $m=$ 从数据中估计的参数个数。

列联表中的独立性

• 适用场景：两个分类变量；检验关联性。
• 期望频率：$E_{ij}=\dfrac{(\text{行合计})(\text{列合计})}{\text{总计}}$。
• 自由度：$(r-1)(c-1)$。

结论句模板

模板

由于 $\chi^2 = \underline{\hspace{2cm}}$（大于 / 小于）在 \underline{\hspace{1.2cm}}% 水平下的临界值 $\underline{\hspace{2cm}}$， 我们（拒绝 / 未能拒绝）$H_0$。 有（充分 / 不充分）证据表明 \underline{\hspace{6cm}}。

常见考试陷阱（来自考官报告）

• 频率而非百分比：卡方检验必须使用原始频率（计数）。如果给出百分比，必须先转换回频率。
• 估计参数的假设：如果你估计了一个参数（如 $\lambda=3.5$），不要在假设中包含 3.5。写”$H_0$：泊松分布是合适的模型”（而不是”Po(3.5)”）。
• 自由度（$m$）：学生在计算拟合优度检验的 $df = k - 1 - m$ 时常常忘记减去 $m$（估计参数的个数）。
• 正确合并：合并单元格是为了确保期望频率 $\ge 5$。不要仅根据观测频率合并！

单页公式表（学生应记忆）

• 期望： $E(aX \pm bY)=aE(X) \pm bE(Y)$
• 方差（独立）： $\mathrm{Var}(aX \pm bY)=a^2\mathrm{Var}(X) + b^2\mathrm{Var}(Y)$
• 多个变量： $\mathrm{Var}(X_1+..+X_n)=n\mathrm{Var}(X)$
• 样本均值： $\bar{X}=\dfrac{1}{n}\sum X_i$，$\mathrm{SE}(\bar{X})=\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$
• 样本方差： $S^2=\dfrac{1}{n-1}\sum (X_i-\bar{X})^2$
• 均值置信区间（大 $n$）： $\bar{x}\pm z^*\dfrac{S}{\sqrt{n}}$
• CLT： $\bar{X}\approx N\!\left(\mu,\dfrac{\sigma^2}{n}\right)$
• PMCC： $r=\dfrac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx}S_{yy}}}$
• 斯皮尔曼（无并列）： $r_s=1-\dfrac{6\sum d^2}{n(n^2-1)}$
• $\chi^2$： $\chi^2=\sum\dfrac{(O-E)^2}{E}$
• 拟合优度自由度： $k-1-m$，独立性自由度： $(r-1)(c-1)$

综合练习（不提供解答）

练习：综合 1——抽样 + 偏差

一所学校调查”离开图书馆的前 60 名学生”关于 HelloTea 的看法。

(a) 说出使用的抽样方法。 (b) 给出两种可能出现的偏差来源。 (c) 建议一种使用概率抽样方法的改进方案。

练习：综合 2——置信区间

一个 $n=64$ 名学生的随机样本给出平均评分 $\bar{x}=4.10$，样本标准差 $s=0.80$。

(a) 求 $\mu$ 的 95% 置信区间。 (b) 用文字解释该区间的含义。

练习：综合 3——CLT 均值之差

抽取两个独立的大样本：

$$n_1=50,\ \bar{x}_1=4.20,\ s_1=0.90;\qquad n_2=60,\ \bar{x}_2=4.05,\ s_2=0.85.$$

(a) 求 $\bar{x}_1-\bar{x}_2$ 的估计标准误。 (b) 在 5% 水平下检验总体均值是否有差异。

练习：综合 4——相关性选择

一位老师记录了 (i) 学生的班级排名，以及 (ii) 他们的每周屏幕时间排名。

(a) 皮尔逊和斯皮尔曼哪个相关系数更合适？解释原因。 (b) 陈述关联性检验的假设，并描述如何做出决策。

练习：综合 5——$\chi^2$ 独立性

在一项调查中，学生选择一种饮品（茶/咖啡/热巧克力）。表格显示了按性别的计数。

(a) 陈述 $\chi^2$ 独立性检验的假设。 (b) 写出单元格期望频率的公式。 (c) 陈述自由度。