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Yizi's Math Notes

S2 第五章：均匀分布

随机性的最纯粹形式：一个等可能性的世界

Section titled “随机性的最纯粹形式：一个等可能性的世界”

我们已经了解了指数分布描述的是”等待”的耐心数学，那么如果我们需要建模一种根本不同的情况——完全无知——该怎么办呢？

最大无知原则建议：把每个等长的区间视为等可能的。这自然引出了均匀分布——“纯粹随机性”的数学。

1 均匀分布的语言

Section titled “1 均匀分布的语言”

1.1 定义与概率密度函数——确定性的矩形

Section titled “1.1 定义与概率密度函数——确定性的矩形”

定义（连续均匀分布）： 如果一个连续随机变量 XX 在区间 [a,b][a, b] 上具有恒定的概率密度，则称其服从该区间上的均匀分布。我们记作：

X∼Uniform(a,b)或X∼U(a,b)X \sim \text{Uniform}(a, b) \quad \text{或} \quad X \sim U(a, b)

关键洞见是”均匀”意味着恒定密度——想象一个完美平坦的矩形，其高度永不改变。

通过逻辑必然性推导 PDF：

由于分布是”均匀的”，PDF 在 [a,b][a, b] 上必须是某个常数 kk：

f(x)={kif a≤x≤b0otherwisef(x) = \begin{cases} k & \text{if } a \leq x \leq b \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}

但这个常数 kk 是多少呢？我们利用基本要求：总概率等于 1。

∫−∞∞f(x) dx=∫abk dx=k(b−a)=1\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \, dx = \int_a^b k \, dx = k(b - a) = 1

因此：k=1b−ak = \frac{1}{b - a}

例 1：

考虑 X∼Uniform(1,5)X \sim \text{Uniform}(1, 5)。

(a) 写出 PDF 并画出草图

f(x)={15−1=14if 1≤x≤50otherwisef(x) = \begin{cases} \frac{1}{5-1} = \frac{1}{4} & \text{if } 1 \leq x \leq 5 \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}

这形成了一个从 x=1x = 1 到 x=5x = 5、高度为 14\frac{1}{4} 的矩形。

(b) 求 P(2<X<3.5)P(2 < X < 3.5)

利用”矩形性质”：

P(2<X<3.5)=区间长度总长度=3.5−25−1=1.54=0.375P(2 < X < 3.5) = \frac{\text{区间长度}}{\text{总长度}} = \frac{3.5 - 2}{5 - 1} = \frac{1.5}{4} = 0.375

(c) 求 P(X=3)P(X = 3)

对于任何连续分布：P(X=3)=0P(X = 3) = 0。单个点的概率为零。

(d) 求 P(X>4.5)P(X > 4.5)

P(X>4.5)=5−4.55−1=0.54=0.125P(X > 4.5) = \frac{5 - 4.5}{5 - 1} = \frac{0.5}{4} = 0.125

1.2 累积分布函数——线性攀升

Section titled “1.2 累积分布函数——线性攀升”

逐步构建 CDF：

对于 X∼Uniform(a,b)X \sim \text{Uniform}(a, b)，我们计算 F(x)=P(X≤x)F(x) = P(X \leq x)：

情况 1： x<ax < a

F(x)=0（尚未累积概率）F(x) = 0 \text{（尚未累积概率）}

情况 2： a≤x≤ba \leq x \leq b

F(x)=∫ax1b−adt=x−ab−a（线性累积）F(x) = \int_a^x \frac{1}{b-a} dt = \frac{x-a}{b-a} \text{（线性累积）}

情况 3： x>bx > b

F(x)=1（全部概率已累积）F(x) = 1 \text{（全部概率已累积）}

均匀分布的 PDF 与 CDF

例 2：CDF 的应用

对于 X∼Uniform(−2,6)X \sim \text{Uniform}(-2, 6)：

(a) 写出 CDF

F(x)={0if x<−2x−(−2)6−(−2)=x+28if −2≤x≤61if x>6F(x) = \begin{cases} 0 & \text{if } x < -2 \\ \frac{x - (-2)}{6 - (-2)} = \frac{x + 2}{8} & \text{if } -2 \leq x \leq 6 \\ 1 & \text{if } x > 6 \end{cases}

(b) 求 P(0<X≤4)P(0 < X \leq 4)

P(0<X≤4)=F(4)−F(0)=4+28−0+28=68−28=12P(0 < X \leq 4) = F(4) - F(0) = \frac{4 + 2}{8} - \frac{0 + 2}{8} = \frac{6}{8} - \frac{2}{8} = \frac{1}{2}

(c) 求第一四分位数

Q1Q_1 满足 F(Q1)=0.25F(Q_1) = 0.25：

Q1+28=0.25⇒Q1+2=2⇒Q1=0\frac{Q_1 + 2}{8} = 0.25 \Rightarrow Q_1 + 2 = 2 \Rightarrow Q_1 = 0

例 3：机场航班等候时间

某机场航班起飞之间的等候时间（分钟）由连续随机变量 XX 建模，其概率密度函数为

f(x)={152≤x≤70otherwisef(x) = \begin{cases} \frac{1}{5} & 2 \leq x \leq 7 \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}

  1. 写出这个分布的名称。
  2. 随机选取的一个航班在上午 9 点起飞。求下一班航班在上午 9:05 之前起飞的概率。
  3. 求接下来 5 个航班中至少有 1 个航班等候时间超过 6 分钟的概率。
  4. 对所有 xx，求 XX 的累积分布函数。
  5. 画出 XX 在 2≤x≤72 \leq x \leq 7 上的累积分布函数草图。

1.3 数字特征——均值、方差与变换

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从矩形到平衡点：自然的中心

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对于连续随机变量，我们学过期望值就是”重心”。对于均匀分布，这个平衡点在哪里呢？

对于 X∼Uniform(a,b)X \sim \text{Uniform}(a, b)：

E(X)=∫abx⋅1b−a dx=1b−a∫abx dx=1b−a⋅x22∣ab=b2−a22(b−a)=(b−a)(b+a)2(b−a)=a+b2\begin{aligned} E(X) &= \int_a^b x \cdot \frac{1}{b - a} \, dx = \frac{1}{b - a} \int_a^b x \, dx = \frac{1}{b - a} \cdot \frac{x^2}{2}\Big|_a^b = \frac{b^2 - a^2}{2(b - a)} = \frac{(b - a)(b + a)}{2(b - a)} = \frac{a + b}{2} \end{aligned}

美妙的对称性： 期望值恰好是区间的中点！

方差：“宽”到底有多宽？

Section titled “方差：“宽”到底有多宽？”

利用 Var(X)=E(X2)−[E(X)]2\text{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2：

第一步：计算 E(X2)E(X^2)

E(X2)=∫abx2⋅1b−a dx=1b−a⋅x33∣ab=b3−a33(b−a)=a2+ab+b23E(X^2) = \int_a^b x^2 \cdot \frac{1}{b - a} \, dx = \frac{1}{b - a} \cdot \frac{x^3}{3}\Big|_a^b = \frac{b^3 - a^3}{3(b - a)} = \frac{a^2 + ab + b^2}{3}

第二步：代入方差公式

Var(X)=a2+ab+b23−(a+b2)2=(b−a)212\text{Var}(X) = \frac{a^2 + ab + b^2}{3} - \left(\frac{a + b}{2}\right)^2 = \frac{(b - a)^2}{12}

例 4：参数关系

连续随机变量 XX 在区间 [a,β][a, \beta]（其中 β>a\beta > a）上服从均匀分布。

已知 E(X)=8E(X) = 8：

  1. 写出一个包含 aa 和 β\beta 的方程。

同时已知 P(X≤13)=0.7P(X \leq 13) = 0.7：

  1. 求 aa 和 β\beta 的值。
  2. 求 Var(X)\text{Var}(X)。
  3. 求 P(5≤X≤35)P(5 \leq X \leq 35)。

例 5：厨房秤

Albert 用厨房秤称量水果。随机变量 DD 表示秤显示的水果重量减去水果真实重量，单位为克。随机变量 DD 在区间 [−2.5,2.5][-2.5, 2.5] 上服从均匀分布。

  1. 写出 DD 的概率密度函数。
  2. 求 DD 的标准差。
  3. Albert 在秤上称一根香蕉。写出秤显示的重量恰好等于香蕉真实重量的概率。
  4. 求秤显示的重量在香蕉真实重量 1 克以内的概率。
  5. Albert 在秤上逐个称 10 根香蕉。求其中至少有 6 根香蕉的秤重在真实重量 1 克以内的概率。

课后练习

Section titled “课后练习”

练习 1：WST02/01/June17/7

连续随机变量 XX 在区间 [a,b][a, b] 上服从均匀分布。

  1. 用 aa 和 bb 表示 E(3−2X)E(3 - 2X) 的表达式。(2)
  2. 求 P(X>13b+23a)P(X > \frac{1}{3}b + \frac{2}{3}a)。(2)

已知 E(X)=0E(X) = 0。

  1. 仅用 bb 表示 E(3X2)E(3X^2) 的表达式。(3)

同时已知 XX 的极差为 1818。

  1. 求 Var(X)\text{Var}(X)。(2)

练习 2：WST02/01/June15/3

一根意大利面长 2c2c，其中 cc 为正常数。它在随机位置被切成两段。连续随机变量 XX 表示较长段的长度，在区间 [c,2c][c, 2c] 上服从均匀分布。

  1. 画出 XX 的概率密度函数草图。(2)
  2. 用积分证明 Var(X)=c212\text{Var}(X) = \frac{c^2}{12}。(6)
  3. 求较长段长度超过较短段两倍的概率。(3)

练习 3：6684/01/June15/4

连续随机变量 LL 表示机器切割杆件时的误差（米）。LL 的分布是区间 [0,0.5][0, 0.5] 上的连续均匀分布。

  1. 求 P(L<0.4)P(L < 0.4)。(1)
  2. 写出 E(L)E(L)。(1)
  3. 计算 Var(L)\text{Var}(L)。(2)

从此机器切割的杆件中随机抽取 3030 根作为样本。

  1. 求误差超过 0.40.4 米的杆件少于 44 根的概率。(3)

当一台新机器切割杆件时，误差 XX（米）由累积分布函数 F(x)F(x) 建模，其中

F(x)={0x<04x−4x20≤x≤0.51otherwiseF(x) = \begin{cases} 0 & x < 0 \\ 4x - 4x^2 & 0 \leq x \leq 0.5 \\ 1 & \text{otherwise} \end{cases}

  1. 利用此模型，求 P(X>0.4)P(X > 0.4)。(2)

从此新机器切割的杆件中随机抽取 100100 根作为样本。

  1. 利用适当的近似方法，求其中至少 88 根杆件的误差超过 0.40.4 米的概率。(3)

2 挑战：蒲丰投针实验

Section titled “2 挑战：蒲丰投针实验”

均匀分布理论的终极考验

Section titled “均匀分布理论的终极考验”

现在我们将处理概率论中最著名的问题之一——它美妙地展示了均匀分布如何揭示 π\pi 本身的奥秘。

1777 年，法国数学家乔治-路易·勒克莱尔（蒲丰伯爵）提出了这个挑战：“随机投掷的针与平行线相交的概率是多少？”

蒲丰投针问题

第一步：确定随机变量

Section titled “第一步：确定随机变量”

提示 1： 考虑针相对于线条的位置。

设 XX 为针的中心到最近一条线的垂直距离。

问题 1a： 线间距为 1 个单位。XX（针中心到最近线的距离）的可能取值范围是多少？

答案：XX 的范围从 ____ 到 ____

问题 1b： 如果针是”随机”投掷的，XX 应该服从什么分布？

提示： 由于针是随机投掷的，它落在任何位置的可能性相同。这意味着 XX 在其范围内应该服从 ____ 分布。

问题 1c： 现在考虑针的方向。设 Θ\Theta 为针与平行线之间的锐角。Θ\Theta 的可能取值范围是多少？

答案：Θ\Theta 的范围从 ____ 到 ____

问题 1d： Θ\Theta 应该服从什么分布？

提示： 由于旋转对称性，针指向任何方向的可能性相同。所以 Θ\Theta 在其范围内应该服从 ____ 分布。

问题 1e： XX 和 Θ\Theta 是否独立？

想一想： 针落在哪里会影响它的角度吗？角度会影响它落在哪里吗？你的答案：____

第二步：确定相交条件

Section titled “第二步：确定相交条件”

几何分析： 针在什么时候与线相交？

问题 2： 观察示意图。针从中心向每个方向延伸 12\frac{1}{2} 个单位。针在什么情况下与最近的线相交？找出函数 f(Θ)f(\Theta)，使得针与线相交当且仅当 X≤f(Θ)X \leq f(\Theta)。

第三步：用”平均”法计算概率

Section titled “第三步：用”平均”法计算概率”

由于我们有两个随机方面（位置 XX 和角度 Θ\Theta），我们需要一种巧妙的方法。让我们一步步来思考：

关键洞见： 对于每个特定的角度 θ\theta，我们可以很容易地求出针与线相交的概率。然后对所有可能的角度进行”平均”。

问题 3a： 假设针的方向为特定角度 θ\theta（其中 0≤θ≤π20 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}）。

  • 从第二步可知，针与线相交的条件是 X≤X \leq ____
  • 由于 XX 在 [0,12][0, \frac{1}{2}] 上均匀分布，P(针与线相交∣角度=θ)P(\text{针与线相交} \mid \text{角度} = \theta) 是多少？

让我们通过一个例子来理解： 如果 θ=30∘=π6\theta = 30^{\circ} = \frac{\pi}{6}，则：

  • 针与线相交的条件是 X≤12sin⁡(π6)=12×12=14X \leq \frac{1}{2}\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}
  • 由于 XX 在 [0,12][0, \frac{1}{2}] 上均匀分布：P(针与线相交∣θ=30∘)=1412=12P(\text{针与线相交} \mid \theta = 30^{\circ}) = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2}

一般公式： P(针与线相交∣角度=θ)=P(\text{针与线相交} \mid \text{角度} = \theta) = ____

问题 3b： 现在我们需要求总概率。由于角度 Θ\Theta 也是随机的且在 [0,π2][0, \frac{\pi}{2}] 上均匀分布，我们需要对问题 3a 中的条件概率在所有可能角度上进行”平均”。

数学上的平均： 当我们有一个连续的取值范围时，“平均”就变成了积分：

P(针与线相交)=1π2−0∫0π/2P(针与线相交∣角度=θ) dθP(\text{针与线相交}) = \frac{1}{\frac{\pi}{2} - 0} \int_0^{\pi/2} P(\text{针与线相交} \mid \text{角度} = \theta) \, d\theta

将问题 3a 的答案代入此公式并计算积分。

逐步引导：

P(针与线相交)=1π2∫0π/2___ dθ=2π∫0π/2___ dθ=___\begin{aligned} P(\text{针与线相交}) &= \frac{1}{\frac{\pi}{2}} \int_0^{\pi/2} \_\_\_ \, d\theta \\ &= \frac{2}{\pi} \int_0^{\pi/2} \_\_\_ \, d\theta \\ &= \_\_\_ \end{aligned}

第四步：发现惊人的结果

Section titled “第四步：发现惊人的结果”

问题 4a： 完成第三步的计算。你应该得到：

P(针与线相交)=___P(\text{针与线相交}) = \_\_\_

问题 4b： 看看你的答案！出现了什么著名的数学常数？这就是使蒲丰投针实验如此出名的惊人发现。

问题 4c： 重新排列你的概率公式，用相交概率来表示 π\pi：

π=___\pi = \_\_\_

问题 4d： 你如何利用这个实验来估计 π\pi？如果你做了 1000 次实验并观察到 637 次相交，你对 π\pi 的估计值是多少？

你的计算：___.\text{你的计算：} \_\_\_.

拓展挑战：

  1. 如果针的长度不等于线间距会怎样？推导针长为 ℓ\ell、线间距为 dd 时的一般概率公式。
  2. 如果 ℓ>d\ell > d（针长于线间距），你将如何修改分析？
  3. 设计一个使用随手可得的材料（牙签、纸张等）的课堂实验来估计 π\pi。