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Yizi's Math Notes

E 三角函数

模块 E：三角函数

Section titled “模块 E：三角函数”

对应考纲 Section 1: MM4.1, MM4.2, MM4.3, MM4.4, MM4.5, MM4.6 对应 Paper: P1 与 P2 均高频（41/320 题，第二大知识点） 建议课时: 2 课时 | 目标题量: 15-20 题

📋 模块概览

Section titled “📋 模块概览”
小节内容对应考纲历年真题频率课时
E1正弦/余弦定理、三角形面积MM4.18 年 8 次0.5
E2弧度制、弧长与扇形面积MM4.28 年 12 次0.5
E3特殊角、图像与性质MM4.3, MM4.48 年 15 次0.5
E4恒等式、三角方程求解MM4.5, MM4.68 年 20 次0.5

E1 正弦/余弦定理与三角形面积 [MM4.1]

Section titled “E1 正弦/余弦定理与三角形面积 [MM4.1]”

1.1 正弦定理

Section titled “1.1 正弦定理”

对于任意三角形 ABC：

asin⁡A=bsin⁡B=csin⁡C=2R\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R

其中 RR 为三角形外接圆半径。

应用场景：

  • 已知两角一边（AAS 或 ASA）：求其他边
  • 已知两边及一角（SSA）：求其他角（注意ambiguous case）

⚠️ Ambiguous Case（SSA）：已知两边 a,ba, b 和角 AA，当 AA 为锐角且 b<ab < a 时，可能有两个解、一个解或无解。

判断方法：比较 bb 与 asin⁡Aa\sin A：

  • b>asin⁡Ab > a\sin A：两个解（角 BB 可为锐角或钝角）
  • b=asin⁡Ab = a\sin A：一个解（直角三角形）
  • b<asin⁡Ab < a\sin A：无解

1.2 余弦定理

Section titled “1.2 余弦定理”

c2=a2+b2−2abcos⁡Cc^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C

应用场景：

  • 已知三边（SSS）：求角
  • 已知两边及夹角（SAS）：求第三边

推导理解：当 C=90°C = 90° 时，cos⁡C=0\cos C = 0，公式变为勾股定理 c2=a2+b2c^2 = a^2 + b^2。余弦定理是勾股定理的推广。

1.3 三角形面积公式

Section titled “1.3 三角形面积公式”

Area=12absin⁡C\text{Area} = \frac{1}{2} ab \sin C

这个公式适用于任意三角形，无需知道高。

⚡ 快速记忆：面积等于两边乘积的一半，乘以夹角的正弦。两个边和一个角就能求面积。

E2 弧度制、弧长与扇形面积 [MM4.2]

Section titled “E2 弧度制、弧长与扇形面积 [MM4.2]”

2.1 弧度制的定义

Section titled “2.1 弧度制的定义”

角度制与弧度制的转换：

180°=π radians180° = \pi \text{ radians}

常用转换：

度数弧度备注
0°0-
30°π6\frac{\pi}{6}-
45°π4\frac{\pi}{4}-
60°π3\frac{\pi}{3}-
90°π2\frac{\pi}{2}-
180°π\pi半圆
270°3π2\frac{3\pi}{2}-
360°2π2\pi整圆

转换口诀：度数乘 π180\frac{\pi}{180}，弧度乘 180π\frac{180}{\pi}。

2.2 弧长公式

Section titled “2.2 弧长公式”

l=rθl = r\theta

其中 θ\theta 为弧度制圆心角。若角度为度数，需先转换为弧度。

注意：弧度制下，公式简洁无系数；角度制则需要 l=rθπ180l = \frac{r\theta\pi}{180}。

2.3 扇形面积公式

Section titled “2.3 扇形面积公式”

Area=12r2θ\text{Area} = \frac{1}{2} r^2 \theta

其中 θ\theta 为弧度制圆心角。

推导理解：整个圆面积 πr2\pi r^2 对应 2π2\pi 弧度。比例为 θ2π\frac{\theta}{2\pi}，故扇形面积 =πr2×θ2π=12r2θ= \pi r^2 \times \frac{\theta}{2\pi} = \frac{1}{2} r^2 \theta。

⚡ 简化记忆：弧长乘半径的一半，即 Area=12lr\text{Area} = \frac{1}{2} lr。

E3 特殊角、三角函数图像与性质 [MM4.3, MM4.4]

Section titled “E3 特殊角、三角函数图像与性质 [MM4.3, MM4.4]”

3.1 特殊角的三角函数值

Section titled “3.1 特殊角的三角函数值”

必须熟记的表格：

角度弧度sin⁡\sincos⁡\costan⁡\tan
0°0010
30°π6\frac{\pi}{6}12\frac{1}{2}32\frac{\sqrt{3}}{2}13\frac{1}{\sqrt{3}}
45°π4\frac{\pi}{4}22\frac{\sqrt{2}}{2}22\frac{\sqrt{2}}{2}1
60°π3\frac{\pi}{3}32\frac{\sqrt{3}}{2}12\frac{1}{2}3\sqrt{3}
90°π2\frac{\pi}{2}10undefined

记忆技巧：

  • sin⁡\sin：从 00 到 11，值为 n2\frac{\sqrt{n}}{2}，n=0,1,2,3,4n = 0, 1, 2, 3, 4
  • cos⁡\cos：从 11 到 00，顺序相反
  • tan⁡=sin⁡cos⁡\tan = \frac{\sin}{\cos}：0°→60°为 0,13,1,30, \frac{1}{\sqrt{3}}, 1, \sqrt{3}（递增）

3.2 三角函数图像

Section titled “3.2 三角函数图像”

sin⁡x\sin x 的图像：

  • 周期：2π2\pi
  • 振幅：1（从 −1-1 到 11）
  • 起点 (0,0)(0, 0)，先上升

cos⁡x\cos x 的图像：

  • 周期：2π2\pi
  • 振幅：1
  • 起点 (0,1)(0, 1)，先下降（可视为 sin⁡(x+π2)\sin(x + \frac{\pi}{2})）

tan⁡x\tan x 的图像：

  • 周期：π\pi（比 sin/cos 短）
  • 无界（在 x=π2,3π2,…x = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \ldots 处无定义）
  • 单调递增（每个周期内）

3.3 对称性与周期性

Section titled “3.3 对称性与周期性”

sin⁡x\sin x 的性质：

  • 呇周期性：sin⁡(x+2π)=sin⁡x\sin(x + 2\pi) = \sin x
  • 原点对称（奇函数）：sin⁡(−x)=−sin⁡x\sin(-x) = -\sin x
  • 补角关系：sin⁡(π−x)=sin⁡x\sin(\pi - x) = \sin x

cos⁡x\cos x 的性质：

  • 呇周期性：cos⁡(x+2π)=cos⁡x\cos(x + 2\pi) = \cos x
  • yy-轴对称（偶函数）：cos⁡(−x)=cos⁡x\cos(-x) = \cos x
  • 补角关系：cos⁡(π−x)=−cos⁡x\cos(\pi - x) = -\cos x

tan⁡x\tan x 的性质：

  • 呇周期性：tan⁡(x+π)=tan⁡x\tan(x + \pi) = \tan x
  • 原点对称（奇函数）：tan⁡(−x)=−tan⁡x\tan(-x) = -\tan x

⚡ 解题利器：周期性用于简化大角，对称性用于处理负角。

E4 恒等式与三角方程求解 [MM4.5, MM4.6]

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4.1 核心恒等式

Section titled “4.1 核心恒等式”

恒等式一：

tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}

恒等式二（毕达哥拉斯恒等式）：

sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1

推论：

  • sin⁡2θ=1−cos⁡2θ\sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta
  • cos⁡2θ=1−sin⁡2θ\cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta
  • 1+tan⁡2θ=1cos⁡2θ1 + \tan^2\theta = \frac{1}{\cos^2\theta}（secant）

4.2 三角方程求解策略

Section titled “4.2 三角方程求解策略”

基本类型：

方程类型解法示例
sin⁡x=k\sin x = k两个解（在一周期内）sin⁡x=12\sin x = \frac{1}{2} → x=π6,5π6x = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}
cos⁡x=k\cos x = k两个解（正负对称）cos⁡x=12\cos x = \frac{1}{2} → x=±π3x = \pm\frac{\pi}{3}
tan⁡x=k\tan x = k一个解（单调）tan⁡x=1\tan x = 1 → x=π4+nπx = \frac{\pi}{4} + n\pi

⚠️ 解的范围很重要：

  • 仔细审题：xx 的范围是 [0,2π][0, 2\pi]？[0°,360°][0°, 360°]？还是其他？
  • 画草图辅助判断解的个数和位置
  • tan⁡x\tan x 的周期是 π\pi，不是 2π2\pi

4.3 二次型三角方程

Section titled “4.3 二次型三角方程”

方程如 asin⁡2x+bsin⁡x+c=0a\sin^2 x + b\sin x + c = 0：

解法步骤：

  1. 用恒等式替换（如 cos⁡2x=1−sin⁡2x\cos^2 x = 1 - \sin^2 x）
  2. 化为关于单一三角函数的二次方程
  3. 解二次方程，得三角函数值
  4. 求角度 xx

⚡ 技巧：设 t=sin⁡xt = \sin x 或 t=cos⁡xt = \cos x，转化为 at2+bt+c=0at^2 + bt + c = 0。

4.4 图像交点法

Section titled “4.4 图像交点法”

对于超越方程（如 xsin⁡x=cos⁡xx\sin x = \cos x），无法精确求解：

策略：

  1. 整理为两个函数交点：tan⁡x=1x\tan x = \frac{1}{x}
  2. 画两个函数的图像
  3. 观察交点个数

关键点：

  • 利用周期性判断函数有多少周期在范围内
  • 利用振幅和单调性判断是否相交
  • 特殊点检验：端点、极值点

⚡ 速解技巧汇总

Section titled “⚡ 速解技巧汇总”
场景技巧
特殊角计算默写表格，sin⁡\sin 从 02\frac{0}{2} 到 22\frac{2}{2}，cos⁡\cos 相反
弧长/扇形弧度制下公式无系数：l=rθl = r\theta, A=12r2θA = \frac{1}{2}r^2\theta
解三角方程先画草图，判断解的个数和位置
大角简化利用周期性：sin⁡(x+2π)=sin⁡x\sin(x + 2\pi) = \sin x, tan⁡(x+π)=tan⁡x\tan(x + \pi) = \tan x
负角处理利用对称性：sin⁡(−x)=−sin⁡x\sin(-x) = -\sin x, cos⁡(−x)=cos⁡x\cos(-x) = \cos x
二次方程设 t=sin⁡xt = \sin x，化为 at2+bt+c=0at^2 + bt + c = 0
SSA 问题检查 ambiguous case，可能有 0、1 或 2 解

⚠️ 易错警示

Section titled “⚠️ 易错警示”
  • ❌ tan⁡\tan 的周期是 π\pi，不是 2π2\pi（易漏解）
  • ❌ sin⁡x=k\sin x = k 在一周期内有两个解，不是只有一个（除非 k=±1k = \pm 1）
  • ❌ 解方程前必须明确 xx 的范围，不要默认 [0,2π][0, 2\pi] 或 [0°,360°][0°, 360°]
  • ❌ 弧长公式 l=rθl = r\theta 中 θ\theta 必须是弧度制，角度制需转换
  • ❌ 特殊角 tan⁡90°\tan 90° 无定义，不能写 tan⁡90°=∞\tan 90° = \infty
  • ❌ SSA（两边一角）可能有 ambiguous case，需检查 bb 与 asin⁡Aa\sin A 的关系

📝 精选例题

Section titled “📝 精选例题”

例题 1（2018 P1 Q6 · 三角方程解的个数）

Section titled “例题 1（2018 P1 Q6 · 三角方程解的个数）”

题目：Find the number of solutions of the equation

xsin⁡2x=cos⁡2xx \sin 2x = \cos 2x

with 0≤x≤2π0 \le x \le 2\pi.

【题目分析】 本题考查超越方程解的个数判断。方程无法精确求解，但可通过图像交点法判断解的数量。思路是将三角函数集中到一边，转化为两个函数图像的交点问题。

【解题步骤】 第一步：整理方程

若 cos⁡2x=0\cos 2x = 0，则 sin⁡2x=±1\sin 2x = \pm 1，方程变为 x⋅(±1)=0x \cdot (\pm 1) = 0，即 x=0x = 0。但 x=0x = 0 时 cos⁡0=1≠0\cos 0 = 1 \neq 0，矛盾。故 cos⁡2x≠0\cos 2x \neq 0。

两边除以 cos⁡2x\cos 2x：xtan⁡2x=1x \tan 2x = 1。再除以 xx（x≠0x \neq 0）：

tan⁡2x=1x\tan 2x = \frac{1}{x}

第二步：分析交点个数

令 t=2xt = 2x，则 t∈[0,4π]t \in [0, 4\pi]。方程变为：

tan⁡t=2t\tan t = \frac{2}{t}

在 t∈(0,4π]t \in (0, 4\pi] 内，y=tan⁡ty = \tan t 有四个正分支：

  • (0,π2)(0, \frac{\pi}{2})：从 0 到 +∞+\infty
  • (π,3π2)(\pi, \frac{3\pi}{2})：从 0 到 +∞+\infty
  • (2π,5π2)(2\pi, \frac{5\pi}{2})：从 0 到 +∞+\infty
  • (3π,7π2)(3\pi, \frac{7\pi}{2})：从 0 到 +∞+\infty

y=2ty = \frac{2}{t} 在每个分支上都单调递减，从较大的值降到接近 0。

第三步：判断每个分支是否相交

在每个分支中，tan⁡t\tan t 从 0 上升到 +∞+\infty，而 2t\frac{2}{t} 从有限值下降到接近 0。两者必然相交一次。

四个分支各一个交点，共 4 个解。

【快捷思路】 方程化为 tan⁡2x=1x\tan 2x = \frac{1}{x}。在 [0,2π][0, 2\pi] 内，2x2x 覆盖 [0,4π][0, 4\pi]，tan⁡t\tan t 有 4 个完整周期分支。每个分支从 0 到 +∞+\infty，必然与 2t\frac{2}{t}（单调递减）相交一次。直接判断 4 个解。

【正确答案】E（4 个解）

【知识点】Trigonometry | 考纲: MM4.5, MM4.6

例题 2（2022 P1 Q4 · 弧长与扇形面积）

Section titled “例题 2（2022 P1 Q4 · 弧长与扇形面积）”

题目：These sectors of circles are similar.

The arc length of the smaller sector is 6.

The difference between the areas of the sectors is 21.

Find the positive difference between the perimeters of the sectors.

【题目分析】 两个相似扇形（圆心角相同），已知小扇形弧长为 6，面积差为 21。由图示知大扇形半径比小扇形大 3。求周长差。

【解题步骤】 第一步：建立变量

设圆心角为 θ\theta（弧度制），小扇形半径为 rr。

由弧长公式：rθ=6r\theta = 6，故 θ=6r\theta = \frac{6}{r}。

第二步：计算面积

小扇形面积：A1=12r2θ=12r2⋅6r=3rA_1 = \frac{1}{2}r^2\theta = \frac{1}{2}r^2 \cdot \frac{6}{r} = 3r。

大扇形半径为 r+3r + 3，面积：A2=12(r+3)2θ=3(r+3)2rA_2 = \frac{1}{2}(r+3)^2\theta = \frac{3(r+3)^2}{r}。

第三步：利用面积差求 rr

由 A2−A1=21A_2 - A_1 = 21：

3(r+3)2r−3r=21\frac{3(r+3)^2}{r} - 3r = 21

两边乘 rr：3(r+3)2−3r2−21r=03(r+3)^2 - 3r^2 - 21r = 0

展开：3(r2+6r+9)−3r2−21r=03(r^2 + 6r + 9) - 3r^2 - 21r = 0

简化：18r+27−21r=018r + 27 - 21r = 0

解得：−3r+27=0-3r + 27 = 0，即 r=9r = 9。

第四步：计算周长差

小扇形周长：P1=2r+l=2×9+6=24P_1 = 2r + l = 2 \times 9 + 6 = 24。

大扇形半径为 1212，弧长为 (r+3)θ=12×69=8(r+3)\theta = 12 \times \frac{6}{9} = 8。

大扇形周长：P2=2×12+8=32P_2 = 2 \times 12 + 8 = 32。

周长差：32−24=832 - 24 = 8。

【快捷思路】 相似扇形中，面积比等于半径比的平方。设比例因子为 k=r+3rk = \frac{r+3}{r}，则 A2A1=k2\frac{A_2}{A_1} = k^2。由 A2−A1=21A_2 - A_1 = 21 和 A1=3rA_1 = 3r，直接求 rr 和周长差。

【正确答案】C（8）

【知识点】Trigonometry | 考纲: MM4.2

例题 3（2016 P1 Q8 · 三角方程求解）

Section titled “例题 3（2016 P1 Q8 · 三角方程求解）”

题目：Find the maximum angle xx in the range 0°≤x≤360°0° \le x \le 360° which satisfies the equation

cos⁡2(2x)+3sin⁡(2x)−74=0\cos^2(2x) + \sqrt{3} \sin(2x) - \frac{7}{4} = 0

【题目分析】 本题考查二次型三角方程求解。利用恒等式 cos⁡2θ=1−sin⁡2θ\cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta，化为关于 sin⁡(2x)\sin(2x) 的二次方程。

【解题步骤】 第一步：代入恒等式

cos⁡2(2x)=1−sin⁡2(2x)\cos^2(2x) = 1 - \sin^2(2x)

代入方程：

1−sin⁡2(2x)+3sin⁡(2x)−74=01 - \sin^2(2x) + \sqrt{3}\sin(2x) - \frac{7}{4} = 0

整理：

sin⁡2(2x)−3sin⁡(2x)+34=0\sin^2(2x) - \sqrt{3}\sin(2x) + \frac{3}{4} = 0

第二步：解二次方程

令 t=sin⁡(2x)t = \sin(2x)：

t2−3 t+34=0t^2 - \sqrt{3}\,t + \frac{3}{4} = 0

判别式 Δ=(3)2−4×34=3−3=0\Delta = (\sqrt{3})^2 - 4 \times \frac{3}{4} = 3 - 3 = 0，重根 t=32t = \frac{\sqrt{3}}{2}。

第三步：求角度

x∈[0°,360°]x \in [0°, 360°]，则 2x∈[0°,720°]2x \in [0°, 720°]。

sin⁡(2x)=32\sin(2x) = \frac{\sqrt{3}}{2} 的解：2x=60°,120°,420°,480°2x = 60°, 120°, 420°, 480°。

对应的 xx：30°,60°,210°,240°30°, 60°, 210°, 240°。

第四步：找最大值

四个解中，最大的是 240°240°。

【快捷思路】 二次方程判别式为零，直接得 sin⁡(2x)=32\sin(2x) = \frac{\sqrt{3}}{2}。在 [0°,720°][0°, 720°] 内找所有解，注意 xx 是角度的一半，最后取最大。

【正确答案】F（240°240°）

【知识点】Trigonometry | 考纲: MM4.5, MM4.6

🏋️ 课后练习（限时 15 分钟）

Section titled “🏋️ 课后练习（限时 15 分钟）”
#题号考点对应考纲难度
12016 P1 Q10三角方程MM4.6⭐⭐⭐
22016 P1 Q17特殊角计算MM4.3⭐⭐⭐
32016 P2 Q3正弦定理MM4.1⭐⭐⭐
42016 P2 Q17三角函数性质MM4.4⭐⭐⭐
52017 P1 Q8三角方程MM4.6⭐⭐⭐
62017 P1 Q20图像交点MM4.4, MM4.6⭐⭐⭐
72017 P2 Q4弧度制MM4.2⭐⭐⭐
82017 P2 Q12三角恒等式MM4.5⭐⭐⭐
92018 P1 Q18三角方程MM4.6⭐⭐⭐
102018 P1 Q19特殊角MM4.3⭐⭐⭐
112018 P1 Q20三角图像MM4.4⭐⭐⭐
122018 P2 Q4弧长计算MM4.2⭐⭐⭐
132019 P1 Q2三角方程MM4.6⭐⭐⭐
142020 P1 Q3弧度制MM4.2⭐⭐⭐
152020 P1 Q18图像交点MM4.4, MM4.6⭐⭐⭐

完整解析见题库数据库，每题均含【解题步骤】与【快捷思路】。

编撰说明：

  • 本讲义覆盖考纲 MM4.1-MM4.6 全部知识点
  • 41 题精选 15 题，兼顾各考点分布
  • 例题选取代表性强的真题，覆盖方程求解、弧长扇形、图像交点三类典型题型
  • 速解技巧与易错警示均源自真题解析经验总结

最后更新：2026-04-29