第六讲 代数的突破——三次与四次方程的解法

第六讲 代数的突破——三次与四次方程的解法

回顾与引言

• 代数学（Algebra），其词源来自阿拉伯语”al-jabr”，意为”还原”与”化简”，其核心任务便是解方程。自古以来，解方程就是数学的核心问题之一。线性方程和二次方程的解法在许多古代文明中都已为人所知。然而，三次方程的求解却成了一道难以逾越的高墙，困扰了数学家数百年之久。直到16世纪的文艺复兴时期，在意大利，一场围绕着荣誉、秘密和背叛的智力竞赛，最终撬开了这扇大门。这次突破不仅是计算技术的胜利，更极大地增强了人类的自信，开启了数学发展的新纪元。

基础回顾：线性与二次方程

线性方程与”方程术”：来自《九章算术》的智慧

• 求解一次方程组对我们来说已是家常便饭。然而，其系统解法的历史可以追溯到近两千年前的中国汉代。在数学巨著《九章算术》的第八卷”方程”中，记载了一个著名的问题，并给出了一个名为”方程术”的通用解法，其思想本质与我们今天所学的”高斯消元法”几乎完全一致。

• 《九章算术》中的原题：

  “今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗。问上、中、下禾实一秉各几何？”

  如果我们设上、中、下禾每秉的谷物量分别为 $x, y, z$，这个问题就转化成一个三元一次方程组：

  $\begin{aligned} 3x + 2y + z &= 39 \\ 2x + 3y + z &= 34 \\ x + 2y + 3z &= 26 \end{aligned}$

• “方程术”的核心，是利用算筹（counting rods）在算板上进行运算。古人将方程的系数和常数项排列成一个矩阵。这与我们今天使用的增广矩阵完全一样（只是转置了一下）：

  $\left[\begin{array}{ccc|c} 3 & 2 & 1 & 39 \\ 2 & 3 & 1 & 34 \\ 1 & 2 & 3 & 26 \end{array}\right]$

• 接下来的解法描述，即”以右行上禾遍乘中行而以直除…”，正是一系列消元步骤。其目标是利用第一行，消去第二、三行的第一个系数。经过一系列行变换，矩阵最终化为上三角形式：

  $\left[\begin{array}{ccc|c} 3 & 2 & 1 & 39 \\ 0 & 5 & 1 & 24 \\ 0 & 0 & 36 & 99 \end{array}\right]$

  这个过程，我们今天称之为高斯消元法。最后的矩阵对应方程组：

  $\begin{aligned} 3x + 2y + z &= 39 \\ 5y + z &= 24 \\ 36z &= 99 \end{aligned}$

  《九章算术》接着描述了如何从最后一个方程开始，通过回代（Back Substitution）依次求出 $z, y, x$ 的值。这个在近两千年前就被清晰阐述的算法，展示了中国古代数学在处理多元线性问题上的高度成熟和算法化思想，是一个了不起的成就。

二次方程与配方法

• 二次方程的求解，在古巴比伦、印度和希腊都曾被研究过。其中，最具启发性的是9世纪阿拉伯数学家花拉子米（al-Khwārizmī）在其著作《代数学》中展示的几何方法。他通过”完成平方”（Completing the square）的几何图形，直观地推导出了二次方程的求根公式。这种方法不仅给出了答案，更解释了答案的由来，是数形结合思想的典范。

世纪突破：三次方程的传奇解法

16世纪的意大利，是三次方程解法传奇上演的舞台。这段历史充满了天才的闪光、个人的恩怨和戏剧性的冲突。

• 一段尘封的秘密：故事始于博洛尼亚大学的教授希皮奥内·德尔·费罗（Scipione del Ferro）。他在1526年去世前，率先发现了一类特殊三次方程 $x^3 + px = q$ 的解法，但他选择将此作为秘密，只传给了他的学生安东尼奥·菲奥尔（Antonio Fior）。

• “口吃者”的挑战：另一位自学成才的数学天才，“口吃者”尼科洛·塔尔塔利亚（Niccolò Tartaglia）在多年的研究后，也独立地发现了相同类型方程的解法。菲奥尔得知后，向塔尔塔利亚发起了公开的数学竞赛。结果，塔尔塔利亚完胜，解出了菲奥尔出的所有题目，名声大噪。

• 卡尔达诺的誓言与《大术》：当时米兰的著名学者吉罗拉莫·卡尔达诺（Girolamo Cardano）听闻此事，对塔尔塔利亚的解法产生了浓厚兴趣。他多次恳求，并据塔尔塔利亚所说，曾立下永不泄密的誓言，最终从塔尔塔利亚那里获得了以诗歌形式加密的解法。

• 突破与出版：卡尔达诺在研究解法时，和他的学生卢多维科·费拉里（Lodovico Ferrari）一道，不仅证明了它，还将其推广到所有类型的三次方程。更重要的是，他们发现费罗才是更早的发现者。卡尔达诺认为既然费罗是第一发现人，他的誓言便不再有约束力。于是，他在1545年出版的巨著《大术》(Ars Magna)中，公布了三次方程和（由费拉里发现的）四次方程的解法，并明确提到了费罗和塔尔塔利亚的贡献。这一行为引发了他与塔尔塔利亚之间持续终生的激烈争执。

解法的核心思想（卡尔达诺方法）

1. 降次：首先通过一个简单的变量代换 $x = y - a/3$，将一般形式的三次方程 $x^3 + ax^2 + bx + c = 0$ 化为没有二次项的”亏缺三次方程”：$y^3 + py + q = 0$。

2. 绝妙的代换：令 $y = u + v$。代入方程后，经过整理得到 $(u^3 + v^3) + (3uv + p)(u + v) + q = 0$。

3. 构造方程组：如果能让 $3uv + p = 0$，那么方程就简化为 $u^3 + v^3 + q = 0$。这样，我们就得到了一个关于 $u$ 和 $v$ 的方程组：

   $\begin{aligned} uv &= -p/3 \\ u^3 + v^3 &= -q \end{aligned}$

4. 转化为二次方程：将第一个式子立方，得到 $u^3v^3 = (-p/3)^3$。现在，我们知道了 $u^3$ 和 $v^3$ 的和与积，根据韦达定理，$u^3$ 和 $v^3$ 就是某个二次方程的两个根。解这个二次方程，就可以求出 $u^3$ 和 $v^3$。

5. 开方求解：分别对 $u^3$ 和 $v^3$ 开立方根，得到 $u$ 和 $v$，相加即可得到 $y$，最终求得 $x$。

不可约情形与虚数的诞生

• 卡尔达诺的公式是一项伟大的成就，但它很快就带来了一个深刻的困惑。当人们尝试用它解决一些已知有三个不同实数根的三次方程时，公式的根号下总是会出现一个负数。这种情况被称为”不可约情形”(Casus Irreducibilis)。

• 例如，方程 $x^3 - 15x - 4 = 0$。通过简单的验算可知 $x=4$ 是一个解。但当我们套用卡尔达诺公式时，会得到解的形式为：

  $x = \sqrt[3]{2 + \sqrt{-121}} + \sqrt[3]{2 - \sqrt{-121}}$

• 在那个时代，负数的平方根是不可想象的，被认为是”虚幻的”、“不存在的”。那么，为什么一个有着明确实数解的方程，其通解公式却要经过一个”不可能”的计算步骤呢？这似乎是一个无法解释的悖论。许多数学家，包括卡尔达诺本人，都对此感到困惑和不安。

• 邦贝利的远见：真正的突破来自意大利工程师兼数学家拉斐尔·邦贝利(Rafael Bombelli)。在他1572年出版的著作《代数学》(L’Algebra)中，他提出了一个革命性的想法：暂时不要理会这些数的”实在性”，而是将它们当作普通的数来对待，并为它们定义一套运算法则。他大胆地假设存在一个符号 $i$（尽管他没有用这个符号，而是用”più di meno”，意为”正的负”），满足 $i^2 = -1$。

• 邦贝利随后展示了惊人的计算技巧。他猜测 $\sqrt[3]{2 + \sqrt{-121}}$（即 $\sqrt[3]{2 + 11i}$）的结果可能是一个 $a+bi$ 形式的复数。通过尝试，他发现：

  $\begin{aligned} (2+i)^3 &= 8 + 12i - 6 - i = 2 + 11i \\ (2-i)^3 &= 2 - 11i \end{aligned}$

• 于是，原方程的解就变成了：

  $x = (2+i) + (2-i) = 4$

  虚数部分完美地抵消了，最终得到了那个已知的实数解！

• 历史意义：邦贝利的计算是数学史上的一个里程碑。在此之前，遇到负数开方，数学家们会像处理二次方程一样，简单地宣称”无解”。但三次方程的”不可约情形”表明，实数解的求解过程，必须经过虚数域才能完成。虚数不再是可以被回避的怪物，而是通往实数世界的一座必经之桥。正是这种”强制性”的出现，迫使数学家们开始严肃地对待虚数，为复数理论的未来发展（由高斯、柯西等人完成）铺平了道路。

更进一步：四次方程的解法

• 在卡尔达诺的鼓励下，他的学生费拉里再接再厉，在求解三次方程思想的基础上，成功地找到了四次方程的通解。他的方法更为复杂，其核心是通过巧妙的配方和引入一个辅助变量，将求解四次方程的问题，转化为求解一个三次方程（所谓的”预解三次方程”）和两个二次方程。这一成就同样被发表在卡尔达诺的《大术》中。

探索的极限？五次方程的挑战

• 三次和四次方程的成功解决，极大地鼓舞了数学界，人们普遍相信，用同样由加、减、乘、除和开方组成的”根式”来求解五次乃至更高次方程只是时间问题。然而，长达两个半世纪的努力都归于失败。

• 从”求解”到”理解结构”：最终，在18世纪末到19世纪初，鲁菲尼（Paolo Ruffini）和阿贝尔（Niels Henrik Abel）证明了一个惊人的结论：一般的五次方程不存在根式解。这一”不可能”的证明，标志着古典代数学——“解方程的理论”的终结。它迫使数学家们从思考”如何解方程”转向思考”方程为什么能（或不能）被解”。

伽罗瓦的革命性思想：对称性与群

• 年轻的法国天才伽罗瓦（Évariste Galois）提出了一个石破天惊的观点，将问题的焦点从”寻找解”完全转移到了”理解解的结构”。

• 根的对称性：伽罗瓦不关心方程的根具体是多少，而是关心这些根之间可以如何置换（Permutation）而不破坏它们满足的所有代数关系。例如，对于方程 $x^2 - 2 = 0$，它的两个根是 $\sqrt{2}$ 和 $-\sqrt{2}$。我们可以将这两个根交换位置，方程的形式不变。这种”可被允许的”置换操作，反映了方程根的内在对称性。

• 伽罗瓦群：所有这些”可被允许的”置换操作的集合，构成了一个数学结构，这就是群（Group）。这个群，后来被称为方程的伽罗瓦群，精确地刻画了方程根的全部对称性。

• “可解性”的判据：伽罗瓦天才地证明了：

  一个多项式方程能用根式解（即仅通过加减乘除和开方求解）的充要条件是，它的伽罗瓦群是可解的（Solvable）。

  所谓”可解群”，是指这个群可以被分解为一系列更小、更简单的群，就像我们可以把一个复杂的分子拆解成原子一样。二次、三次、四次方程的伽罗瓦群都满足这个”可解”的条件。

• 五次方程的宿命：然而，对于一般五次方程，其伽罗瓦群是”5次对称群”$S_5$。伽罗瓦同时证明了，$S_5$ 是一个不可解群。它像一个坚固的、不可再分的整体，无法被拆解。这个群的”不可解”性，直接对应了五次方程的”根式不可解”性。至此，延续数百年的问题得到了根本性的解答。这一深刻的见解，直接催生了现代数学最重要的基石之一——群论。

天才的悲剧：伽罗瓦的一生

• 伽罗瓦（1811-1832）的人生如同一颗耀眼而短命的流星。他16岁时就展现出无与伦比的数学才华，开始阅读拉格朗日和勒让德等大师的原著。

• 不被理解的天才：然而，他的才华超越了时代，也超出了当时考试体系的理解范畴。他两次报考顶尖的巴黎综合理工学院，均以失败告终。据说在口试时，他因无法忍受主考官的平庸提问，甚至将黑板擦扔向了对方。

• 遗失的杰作：他将自己关于方程论的革命性论文三次提交给法国科学院。第一次，手稿被柯西（Cauchy）弄丢了；第二次，傅里叶（Fourier）在审阅前去世，手稿再次遗失；第三次，论文被泊松（Poisson）以”无法理解”为由驳回。

• 政治的狂热与生命的终结：在学术上屡受挫折的伽罗瓦，将热情投入到激进的共和主义政治运动中，并因此两次入狱。1832年5月30日，年仅20岁的伽罗瓦，因为一场至今原因成谜的决斗（可能与爱情或政治阴谋有关）而身负重伤，次日去世。

• 最后的夜晚：在决斗的前一夜，伽罗瓦预感到了自己的死亡。他通宵达旦，奋笔疾书，与时间赛跑，将他关于群论和方程论的思考精华写在一封给朋友的信中，并多次在页边空白处写下”我没有时间了”。

• 迟到的承认：这封信和他的论文手稿，直到他去世14年后的1846年，才被数学家刘维尔（Joseph Liouville）整理、发表和解释。世界终于认识到这位年轻人生前所达到的惊人高度。伽罗瓦理论，从此成为现代代数和数学物理的核心支柱之一。

尾声：关于多项式的两个奇妙事实

• 多项式无处不在（Polynomial Interpolation）：给你平面上任意 $n$ 个点（只要它们的 $x$ 坐标都不同），你就总能找到一个阶数不超过 $n-1$ 的多项式函数，其图像能完美地穿过所有这些点。这就像一个终极的”连点成线”游戏。这个强大的性质（称为多项式插值，如拉格朗日插值法）是许多数据拟合、计算机图形学和工程计算方法的基础。

• 多项式可以模仿一切（Weierstrass Approximation Theorem）：想象任何一条在闭区间上光滑连续的曲线（即没有断开或跳跃）。魏尔斯特拉斯逼近定理告诉我们一个惊人的事实：你总可以找到一个多项式，它的图像与你想象的曲线可以达到任意程度的接近，甚至肉眼无法分辨。这意味着，从理论上讲，任何连续的物理过程或信号模型，都可以用一个（可能阶数很高的）多项式来高精度地模拟。这揭示了多项式作为函数”基本构件”的深刻地位。

深入探讨：多项式插值的力量与陷阱

拉格朗日插值法的构造与证明

对于给定的 $n$ 个点 $(x_1, y_1), (x_2, y_2), \dots, (x_n, y_n)$（其中所有 $x_i$ 互不相同），我们如何构造一个阶数不超过 $n-1$ 的多项式 $P(x)$ 穿过所有这些点呢？

1. 构造基本模块：我们的策略是先构造 $n$ 个”基本多项式” $L_j(x)$，每个多项式的阶数都是 $n-1$。我们对每个 $L_j(x)$ 提出一个特殊的要求：它在 $x_j$ 点的值为1，而在所有其他的 $x_i$ ($i \neq j$) 点的值都为0。即：

   $L_j(x_i) = \begin{cases} 1 & \text{if } i=j \\ 0 & \text{if } i \neq j \end{cases}$

2. 实现基本模块：如何实现这个要求？为了让 $L_j(x)$ 在 $x_i$ ($i \neq j$)处为0，我们只需要让它的表达式中包含连乘项 $(x-x_1)(x-x_2)\dots$（但不包含 $(x-x_j)$）。为了让它在 $x_j$ 处为1，我们再用这个连乘项在 $x_j$ 处的值作分母进行归一化即可。这样，我们就得到了拉格朗日基多项式：

   $L_j(x) = \prod_{i=1, i \neq j}^{n} \frac{x-x_i}{x_j-x_i}$

3. 组合模块得到最终解：有了这 $n$ 个基本模块，我们就可以像搭积木一样，用它们和给定的 $y_i$ 值来构建最终的多项式 $P(x)$：

   $P(x) = \sum_{j=1}^{n} y_j L_j(x) = y_1 L_1(x) + y_2 L_2(x) + \dots + y_n L_n(x)$

证明：

• 存在性：以上的构造过程本身就证明了存在性。我们可以检验它确实穿过了所有点。当我们计算 $P(x_k)$ 时：

  $P(x_k) = \sum_{j=1}^{n} y_j L_j(x_k)$

  根据 $L_j(x)$ 的定义，当 $j \neq k$ 时，$L_j(x_k)=0$，只有 $L_k(x_k)=1$。所以上式中除了第 $k$ 项之外的所有项都消失了，只剩下 $P(x_k) = y_k \cdot 1 = y_k$。这证明了该多项式满足所有插值条件。同时，因为每个 $L_j(x)$ 的阶数是 $n-1$，所以它们的线性组合 $P(x)$ 的阶数不超过 $n-1$。

• 唯一性：假设存在另一个阶数也不超过 $n-1$ 的多项式 $Q(x)$ 满足相同的插值条件。令 $D(x) = P(x) - Q(x)$。那么 $D(x)$ 的阶数也不超过 $n-1$。但是，$D(x)$ 在 $x_1, x_2, \dots, x_n$ 这 $n$ 个不同的点上都为0。根据代数基本定理的一个推论，一个非零的 $k$ 阶多项式最多有 $k$ 个根。既然 $D(x)$ 有 $n$ 个根，而其阶数最多为 $n-1$，那么它只可能是一个多项式——零多项式。所以 $D(x) \equiv 0$，即 $P(x) \equiv Q(x)$。唯一性得证。

高阶多项式的陷阱：龙格现象

• 拉格朗日插值法虽然理论上完美，但在实际应用中，特别是当点的数量 $n$ 很大时，会遇到一个严重的问题，即龙格现象（Runge’s Phenomenon）。

• 这个现象是指，当使用高阶多项式对一组数据点（尤其是等距分布的点）进行插值时，插值多项式虽然精确地穿过了每一个点，但在这些点的中间区域，尤其是在区间的两端，会发生剧烈的、不可控的震荡。点的数量越多，阶数越高，这种震荡可能越严重。

• 一个经典的例子是龙格函数 $f(x) = \frac{1}{1+25x^2}$。如果我们尝试在区间 $[-1, 1]$ 上取越来越多的等距点，然后用更高阶的插值多项式去拟合它们，我们会发现多项式在接近-1和1的地方会像失控一样剧烈摆动，与原函数的平滑曲线相去甚远。

• 这一现象揭示了一个深刻的道理：一个能穿过所有数据点的复杂模型（高阶多项式），不一定是一个好的模型。它可能过度地”迎合”了数据，导致了所谓的”过拟合”。

解决方案：分段与平滑——样条插值

• 如何避免龙格现象呢？一个非常成功的方法是放弃使用单一的高阶多项式，转而使用分段的低阶多项式来连接这些点，这就是样条插值（Spline Interpolation）的核心思想。

• 这个名字来源于工程师曾使用的一种绘图工具——样条（spline），它是一根富有弹性的细木条或塑料条。工程师们会把它压弯，使其刚好通过图纸上需要连接的几个点，从而画出一条光滑的曲线。

• 三次样条是最常用的一种。它的做法是：

  1. 在每两个相邻的数据点 $(x_i, y_i)$ 和 $(x_{i+1}, y_{i+1})$ 之间，我们都用一个三次多项式（而不是一个十七次或更高次的多项式）去连接。
  2. 为了让这些分段拼接起来的曲线看起来是”一整条”光滑的曲线，我们在每个连接点（或称”节点”）上，强制要求相邻的两段三次多项式的一阶导数相等（保证了切线斜率连续，没有尖角）并且二阶导数也相等（保证了曲率连续，曲线的弯曲程度不会发生突变）。

• 通过这种方式，样条插值构造出了一条通过所有数据点的曲线，它由许多低阶多项式”平滑地”拼接而成。因为它避免了使用任何高阶多项式，所以它从根本上杜绝了龙格现象的发生，得到的曲线既灵活又稳定，是目前数据插值和计算机图形学中应用最广泛、最可靠的方法之一。

留给同学们探索的问题

1. 古代算法思想：

   • 请根据《九章算术》中的”方程术”思想的相关原文，完整解释文章的含义以及求解线性方程组的相关过程。

2. 三次方程的解：

   • 运用卡尔达诺的方法，尝试求解方程 $x^3 - 15x - 4 = 0$。在求解过程中，你可能会遇到对负数开平方根的情况（即虚数），这是历史上第一次虚数被迫登上数学舞台的场景。不必畏惧，大胆计算下去，看看最终能否得到一个实数解（提示：其中一个解是4）。

3. 代数与几何的交汇：

   • 法国数学家韦达（Viète）发现，求解亏缺三次方程 $y^3 - py = q$ 本质上等价于三等分一个任意角。请思考，为什么这两个看似无关的问题会联系在一起？（参考课本6.6章）。

4. 范式转移与被忽视的证明：

   • 19世纪，数学家们证明了两个流传已久的难题是”不可能”的：阿贝尔（Abel）证明了一般五次方程没有根式解，而万策尔（Pierre Wantzel）则在1837年证明了仅用尺规三等分任意角和倍立方是不可能的。这两个证明都标志着数学思想的深刻转变：从”如何找到解”转向”证明解不存在”。然而，万策尔的证明在当时几乎被完全忽视了，几十年后才被重新发现和承认。这种现象，科学哲学家托马斯·库恩（Thomas Kuhn）在其著作中称之为”范式转移”（Paradigm Shift）的困难。请你思考：为什么一个正确的、革命性的数学证明（如万策尔的证明）会被当时的数学界主流所忽视？这对于我们理解数学知识的演化和传播有何启示？

5. 魏尔斯特拉斯的”神谕”与”蓝图”：

   • 魏尔斯特拉斯逼近定理保证了任何连续函数都 可以 被一个多项式任意逼近。在观看相关视频后，请思考：这个定理更像是一个”神谕”（保证了”存在性”）还是一个”蓝图”（提供了具体构造方法）？在实际应用中，如果我们想用多项式来高精度地模拟一个复杂函数（比如天气模型），这个定理本身能直接帮助我们找到那个多项式吗？它的主要价值体现在理论层面还是实践层面？

6. “全局”与”局部”的权衡：

   • 观看样条函数的视频后，请对比拉格朗日插值和样条插值。拉格朗日插值试图用一个”全局”的、单一的高阶多项式来贯穿所有数据点，而样条插值则采用”局部”的、分段的低阶多项式拼接而成。你认为这两种方法在思想上体现了怎样的权衡（trade-off）？为了获得稳定性，样条插值牺牲了模型的哪些特性？