M2 力学：功、能量、冲量与碰撞

M2 力学：功、能量、冲量与碰撞

从力到守恒：运动的新视角

17 世纪，牛顿定律革新了力学：知道所有力，就能追踪运动的每一瞬间。但到了 1600 年代末，科学家注意到一件 remarkable 的事——某些量在复杂运动中保持不变。

超越力的历史探索

想象一个摆来回摆动，或过山车沿轨道俯冲。用 $F=ma$ 逐瞬间分析是可能的，但很累。力改变方向，速度变化，路径弯曲。有没有捷径？

莱布尼茨、伯努利家族和后来的焦耳发现，对许多系统，你可以忽略运动展开的混乱细节，而关注什么守恒：

• “活力” $K=mv^2$（我们现在称为动能）
• 势能 $U$（来自重力场或弹性场中的位置）
• 总机械能 $E=K+U$（仅保守力作用时恒定）

你只需写一个方程：$E_{\text{initial}} = E_{\text{final}}$。这个守恒原理成为物理学最强大的工具之一。

核心洞察

• 能量方法回答：“什么是可能的？""最终状态是什么？“——无需追踪每个中间时刻。
• 力的方法回答：“这一刻发生了什么？“——给出完整轨迹。

并行的革命：动量与冲量

同时，研究碰撞的科学家面临另一个难题：两物体相撞时，力巨大而短暂。如何在不知道精确力历史的情况下预测结果？

笛卡尔（1644）和惠更斯（1669）意识到总运动量（质量 × 速度）在碰撞中守恒。牛顿后来将其形式化为动量守恒。

冲量概念：考虑 $I = \int F\,dt$，即力的累积效应。这将难以处理的碰撞问题转化为简单的前后代数。

为什么需要两种方法？

• 能量： 关注功、标量和速度/高度的变化。适合关心”多快”或”多高”。
• 动量/冲量： 关注矢量和相互作用。适合碰撞、爆炸或外力短暂作用。

功与能量

功的概念：量化能量转移

19 世纪建造蒸汽机的工程师需要测量力举起重物或推动活塞的效率。他们创造了功这个词来量化力沿位移传递的能量。

关键认识： 只有沿运动方向的力分量做功。垂直于运动推不做功（想想水平提行李箱——重力不做功，因为位移垂直于重力）。

功的定义

恒力 $F$ 与位移 $\vec{s}$ 成 $\theta$ 角：

$W = \vec{F} \cdot \vec{s} = Fs\cos\theta$

只有沿运动方向的分量做功。

例题： 20 N 的力以 $30^\circ$ 角拉箱子移动 5 m：

$W = 20 \times 5 \times \cos(30^\circ) = 86.6 \text{ J}$

符号约定

• $W > 0$：力助运动（引擎推车前进）
• $W < 0$：力阻运动（摩擦力、空气阻力）
• $W = 0$：力垂直于运动

例题：粗糙地面上的功

12 kg 箱子在粗糙地面推 8 m，$\mu = 0.25$，匀速。

正压力：$N = mg = 117.6$ N；摩擦力：$f = \mu N = 29.4$ N

推力做功：$235.2$ J；摩擦力做功：$-235.2$ J；净功：$0$（匀速）

动能与势能

动能（运动能量）：

$K = \frac{1}{2}mv^2$

推导： $W = F \cdot s = ma \cdot s$。用 $v^2 = u^2 + 2as$（$u=0$）得 $W = \frac{1}{2}mv^2$。

重力势能（位置储存的能量）：

$U = mgh$

把质量 $m$ 举到高度 $h$，做功 $W = mgh$。能量被”储存”，物体下落时可以回收。

能量守恒（无非保守力做功）

如果只有重力（和其他保守力）做功：

$K_i + U_i = K_f + U_f$

例题：光滑轨道下落

质量为 $m$ 的珠子从高度 $H$ 静止出发，下降到高度 $h$：

$mgH = mgh + \frac{1}{2}mv^2 \implies v = \sqrt{2g(H-h)}$

功能原理

当非保守力（如摩擦力）存在时：

$\Delta(K + U) = W_{\text{nc}}$

• $W_{\text{nc}} > 0$：外部输入能量
• $W_{\text{nc}} < 0$：能量耗散（摩擦力、空气阻力）

例题：粗糙斜面拉物体

质量 $m$，斜面角 $\alpha$，拉力 $P$ 沿斜面向上，距离 $s$，摩擦系数 $\mu$：

$\frac{1}{2}mv^2 = Ps - mgs\sin\alpha - \mu mgs\cos\alpha$

例题：刹车距离

汽车以速度 $v_0$ 行驶，刹车抱死，摩擦系数 $\mu$：

$0 - \frac{1}{2}mv_0^2 = -\mu mgd \implies d = \frac{v_0^2}{2\mu g}$

功率

功率衡量能量传递的速率：

• 平均功率： $\bar{P} = \dfrac{W}{t}$
• 瞬时功率： $P = \vec{F} \cdot \vec{v} = Fv\cos\theta$

综合练习：多阶段运动

5 kg 物体从光滑曲面顶端 $h_1 = 4$ m 静止滑下，经粗糙水平面 BC（$d = 6$ m，$\mu = 0.3$），再上光滑斜面 $\alpha = 30^\circ$。

(a) B 点速度： $v_B = \sqrt{2 \times 9.8 \times 4} = 8.85$ m/s

(b) BC 段摩擦力做功： $W_f = -0.3 \times 5 \times 9.8 \times 6 = -88.2$ J

(c) C 点速度： $v_C = 6.57$ m/s

(d) 斜面上最大高度： $h = 2.20$ m

冲量与碰撞

碰撞的故事：从台球到守恒定律

1669 年，惠更斯注意到：即使碰撞中的力未知且极其短暂，碰撞前后的总运动量（质量 × 速度）保持不变——前提是没有外力干扰。

冲量-动量突破

牛顿的洞察（1687）：定义动量 $\vec{p} = m\vec{v}$ 和冲量 $I = \int F\,dt$。牛顿第二定律积分得到：

$I = \Delta p = mv_{\text{final}} - mv_{\text{initial}}$

这将难以处理的力问题转化为简单的前后比较。

冲量-动量原理

$I = \int_{t_i}^{t_f} F\,dt = m(v - u) = \Delta p$

即使 $F(t)$ 很复杂，积分 $I$ 只取决于前后速度。

例题：为什么安全气囊有用？

70 kg 乘客，15 m/s。停止时间 0.04 s：$F_{\text{avg}} = 26,250$ N。停止时间 0.20 s：$F_{\text{avg}} = 5,250$ N。安全气囊将停止时间增加 5 倍，峰值力减少 5 倍！

安全工程设计

安全气囊和溃缩区增加碰撞时间 $\Delta t$，所以 $F_{\text{avg}} = I/\Delta t$ 减小。峰值力越低 → 伤害越小。

动量守恒

两个物体相互作用时，牛顿第三定律说力等大反向：$\vec{F}_{12} = -\vec{F}_{21}$。因此冲量也等大反向，$\Delta p_1 = -\Delta p_2$，所以 $\Delta(p_1 + p_2) = 0$。

动量守恒——孤立系统

沿一直线且无外力冲量：

$m_1 u_1 + m_2 u_2 = m_1 v_1 + m_2 v_2$

牛顿恢复定律

动量守恒给出一个方程，但有两个未知数 $v_1$ 和 $v_2$，需要第二个关系。这来自恢复系数 $e$：

$e = \frac{\text{分离速度}}{\text{接近速度}}$

• $e = 1$：完全弹性（无能量损失）
• $e = 0$：完全非弹性（粘在一起）
• $0 < e < 1$：现实碰撞

例题：撞墙反弹

球以速度 $u$ 撞光滑墙，恢复系数 $e$。

反弹速度：$v = eu$（反向）

球受到的冲量：$I = m(eu + u) = mu(1+e)$

碰撞中动能损失

能量损失公式——正碰

两质量 $m_1, m_2$，碰前相对速度 $u_1 - u_2$，恢复系数 $e$：

$\Delta K = \frac{1}{2}\mu(u_1 - u_2)^2(1 - e^2), \quad \mu = \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2}$

其中 $\mu$ 是约化质量。

例题： $m_1=2$, $m_2=3$, $u_1=6$, $u_2=1$, $e=0.6$。

$\mu = 1.2 \text{ kg}, \quad \Delta K = 0.6 \times 25 \times 0.64 = 9.6 \text{ J}$

综合练习：两阶段碰撞

A(2 kg, 6 m/s) → B(3 kg, 静止) → C(5 kg, 静止)。$e_1=0.5$（A-B），$e_2=0.8$（B-C）。

第一阶段： $2v_A + 3v_B = 12$，$v_B - v_A = 3$。解得 $v_A = 0.6$ m/s，$v_B = 3.6$ m/s。

A 受到的冲量大小：$|I| = 2(0.6 - 6) = 10.8$ N·s。

第二阶段： $3v_B' + 5v_C = 10.8$，$v_C - v_B' = 2.88$。解得 $v_B' = 0.45$ m/s，$v_C = 3.33$ m/s。

总动能损失： $36 - 28.38 = 7.62$ J。