FP2 第七章：麦克劳林级数与泰勒级数

FP2 讲义：麦克劳林级数与泰勒级数

引言

泰勒级数和麦克劳林级数提供了用多项式逼近函数的强大方法。这些近似在微积分、工程和物理学中至关重要，使我们能够用更简单的多项式表达式来表示复杂的函数。

核心问题：如何计算复杂函数

如何在没有计算器的情况下计算 $e^x$、$\sin x$ 或 $\ln(1+x)$ 等函数的值？我们如何用多项式这样的简单表达式来近似这些函数？

泰勒级数提供了一种将复杂函数表示为幂的无穷和的方法。这种方法不仅帮助我们计算函数值，还让我们深入了解函数在特定点附近的行为。麦克劳林级数是泰勒级数在 $x = 0$ 处展开的特殊情况。

例如，我们可以将 $e^x$ 表示为 $1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \ldots$，这个模式如果不借助泰勒级数的系统方法是很难发现的。

模块一：历史背景

历史背景与意义

泰勒级数和麦克劳林级数的发展代表了数学分析发展中最重要的进步之一。

布鲁克·泰勒（Brook Taylor，1685–1731）是英国数学家，他在著作《增量方法及其逆》（Methodus Incrementorum Directa et Inversa，1715年）中首次引入了我们现在所称的泰勒级数。泰勒的方法提供了将函数表示为无穷幂级数的方式，但他的表述缺乏现代数学所要求的严谨性。

科林·麦克劳林（Colin Maclaurin，1698–1746）是苏格兰数学家，他在《流数论》（Treatise of Fluxions，1742年）中推广了以 $x = 0$ 为中心的泰勒级数这一特殊情况。虽然麦克劳林并非发现这一特殊情况的人，但他对这些级数的详尽处理使得它们以他的名字命名。

这些创新建立在詹姆斯·格里戈里和艾萨克·牛顿等数学家的早期工作之上，他们发展了类似的思想，但没有将它们正式化为我们今天使用的一般方法。

现代应用：NASA 及其他

泰勒级数不仅仅是数学上的好奇心——它们是现代技术和科学中的必备工具：

卫星轨道计算：NASA 和其他航天机构使用泰勒级数展开来高精度计算和预测卫星轨道。支配轨道力学的引力方程通常过于复杂而无法精确求解，但泰勒近似提供了准确且计算高效的解决方案。

计算机计算：当你的计算器或计算机计算 $\sin x$、$\cos x$ 或 $e^x$ 等函数时，它通常使用截断的泰勒级数，而不是直接计算这些超越函数。

模块二：高阶导数

高阶导数的记法与计算

记法：

• $f'(x)$ 或 $f^{(1)}(x)$：一阶导数
• $f''(x)$ 或 $f^{(2)}(x)$：二阶导数
• $f'''(x)$ 或 $f^{(3)}(x)$：三阶导数
• $f^{(n)}(x)$：$n$ 阶导数（莱布尼茨记法：$\frac{d^n f}{dx^n}$）

高阶导数计算示例：

对于 $f(x) = e^x$：

$$\begin{aligned} f'(x) &= e^x \\ f''(x) &= e^x \\ f'''(x) &= e^x \end{aligned}$$

$e^x$ 的所有导数都等于 $e^x$ 本身！

对于 $f(x) = \sin x$：

$$\begin{aligned} f'(x) &= \cos x \\ f''(x) &= -\sin x \\ f'''(x) &= -\cos x \\ f^{(4)}(x) &= \sin x \end{aligned}$$

$\sin x$ 的导数遵循四个函数的循环。

对于 $f(x) = x^n$（其中 $n$ 为正整数）：

$$\begin{aligned} f'(x) &= nx^{n-1} \\ f''(x) &= n(n-1)x^{n-2} \\ f'''(x) &= n(n-1)(n-2)x^{n-3} \end{aligned}$$

这个模式一直持续到第 $n$ 阶导数，等于 $n!$（常数），所有更高阶导数都为零。

模块三：麦克劳林级数公式

麦克劳林级数的推导

让我们从考虑一个在 $x = 0$ 附近逼近函数 $f(x)$ 的多项式 $P(x)$ 开始：

$$P(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + a_3x^3 + \cdots + a_nx^n$$

如果我们希望这个多项式在 $x = 0$ 处匹配 $f(x)$ 及其导数，我们需要：

$$\begin{aligned} P(0) &= f(0) &\Rightarrow \quad a_0 &= f(0) \\ P'(0) &= f'(0) &\Rightarrow \quad a_1 &= f'(0) \\ P''(0) &= f''(0) &\Rightarrow \quad 2!\,a_2 &= f''(0) &\Rightarrow \quad a_2 &= \frac{f''(0)}{2!} \\ P'''(0) &= f'''(0) &\Rightarrow \quad 3!\,a_3 &= f'''(0) &\Rightarrow \quad a_3 &= \frac{f'''(0)}{3!} \end{aligned}$$

继续这个模式，我们发现 $a_n = \frac{f^{(n)}(0)}{n!}$。

将这些值代入多项式：

$$P(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \cdots + \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$$

这就是 $n$ 次麦克劳林多项式。当 $n$ 趋近于无穷大时，我们得到麦克劳林级数：

$$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \cdots$$

课堂练习：指数函数

题目： 已知 $y = e^{2x}\cos(x)$：

(a) 求 $y$ 关于 $x$ 的前四阶导数。

(b) 求 $e^{2x}\cos(x)$ 的麦克劳林级数展开，展开到 $x^4$ 项。

直观理解麦克劳林近似

当我们可视化多项式近似如何收敛到原函数时，麦克劳林级数变得更加清晰。

例如，考虑函数 $f(x) = e^x$ 及其麦克劳林多项式：

$$\begin{aligned} P_0(x) &= 1 \\ P_1(x) &= 1 + x \\ P_2(x) &= 1 + x + \frac{x^2}{2} \end{aligned}$$

观察：

• 每个多项式 $P_n(x)$ 在 $x = 0$ 处匹配函数 $f(x)$ 及其前 $n$ 阶导数
• 随着 $n$ 增加，近似在更宽的 $x$ 值范围内变得更准确
• 在 $x = 0$ 附近，即使是低次近似也相当准确
• 随着远离 $x = 0$，我们需要更高次项才能获得良好的近似

对于其他常见函数如 $\sin x$、$\cos x$ 和 $\ln(1+x)$ 也会出现类似的视觉模式，尽管每个函数都有自己的收敛特征。

课堂练习：麦克劳林级数公式

题目： 已知 $y = \ln(5 + 3x)$：

(a) 以最简形式求 $\displaystyle \frac{d^3y}{dx^3}$。

(b) 由此求 $\ln(5 + 3x)$ 的麦克劳林级数展开，以 $x$ 的升幂展开到 $x^3$ 项，每个系数以最简形式给出。

模块四：常见麦克劳林级数示例

重要函数的麦克劳林级数

以下是一些基本函数的麦克劳林级数展开：

指数函数：

$$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$$

正弦函数：

$$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}$$

余弦函数：

$$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}$$

自然对数：

$$\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \cdots = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}x^n}{n}$$

二项式展开：

$$(1+x)^k = 1 + kx + \frac{k(k-1)}{2!}x^2 + \frac{k(k-1)(k-2)}{3!}x^3 + \cdots$$

例题：用麦克劳林级数计算 $e$

我们可以利用 $e^x$ 的麦克劳林级数，令 $x = 1$ 来计算 $e$ 的值：

$$e = e^1 = 1 + 1 + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} + \cdots$$

让我们计算逐步精确的近似值：

$$\begin{aligned} 1 &= 1.0000 \\ 1 + 1 &= 2.0000 \\ 1 + 1 + \frac{1}{2} &= 2.5000 \\ 1 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} &= 2.6667 \\ 1 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{24} &= 2.7083 \\ 1 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{24} + \frac{1}{120} &= 2.7167 \end{aligned}$$

$e$ 的实际值精确到小数点后5位是 2.71828。即使只有几项，我们也能得到相当准确的近似。

例题：用麦克劳林级数计算 $\sin(0.1)$

我们可以用麦克劳林级数计算 $\sin(0.1)$：

$$\sin(0.1) = 0.1 - \frac{(0.1)^3}{3!} + \frac{(0.1)^5}{5!} - \frac{(0.1)^7}{7!} + \cdots$$

计算：

$$\begin{aligned} 0.1 &= 0.1000000 \\ 0.1 - \frac{(0.1)^3}{6} &= 0.1 - 0.0001667 = 0.0998333 \\ 0.0998333 + \frac{(0.1)^5}{120} &= 0.0998333 + 0.0000000833 = 0.0998334 \end{aligned}$$

$\sin(0.1)$ 精确到小数点后7位的实际值是 0.0998334。仅用三项就得到了极其精确的近似，展示了麦克劳林级数对于较小 $x$ 值可以多快收敛。

课堂练习：利用已知级数

题目： 利用之前计算的 $\ln(5+3x)$ 的麦克劳林级数，求 $\ln(5 - 3x)$ 以 $x$ 的升幂展开到 $x^3$ 项的麦克劳林级数，每个系数以最简形式给出。由此求 $\ln\left(\frac{5 + 3x}{5 - 3x}\right)$ 以 $x$ 的升幂展开的前两个非零项。

模块五：泰勒级数——推广麦克劳林级数

定义

函数 $f(x)$ 在 $x = a$ 处无穷次可微的泰勒级数为：

$$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$$

前提是这个无穷级数在 $a$ 的某个邻域内的 $x$ 值处收敛于 $f(x)$。

泰勒级数与麦克劳林级数的关系

麦克劳林级数只是泰勒级数在展开中心 $a = 0$ 时的特殊情况。

何时使用泰勒级数 vs. 麦克劳林级数：

• 当你关注函数在 $x = 0$ 附近的行为时，使用麦克劳林级数
• 当你关注函数在 $x = a$ 附近的行为时，使用在 $x = a$ 处展开的泰勒级数
• 泰勒级数对于接近其中心点 $a$ 的值通常收敛更快

例子： 如果我们想在 $x = 2$ 附近近似 $\ln(x)$，以 $a = 2$ 为中心的泰勒级数会比以 $a = 0$ 为中心的麦克劳林级数提供更好的结果。

课堂练习：复合函数的泰勒级数

题目： 考虑函数 $f(x) = \sin(x^2)$。

(a) 求 $\sin(x^2)$ 关于 $x = 0$ 的泰勒级数展开，展开到 $x^6$ 项。

(b) 求 $\sin(x^2)$ 关于 $x = \pi/2$ 的泰勒级数展开，展开到三次项。

模块六：用级数方法求解微分方程

例题：求解 $y'' + 2y' = xy$ 及初始条件

让我们求解微分方程 $y'' + 2y' = xy$，初始条件为 $y(1) = 1$，$y'(1) = 2$。

由于初始条件在 $x = 1$ 处给出，我们使用以 $x = 1$ 为中心的泰勒级数：

$$y(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{y^{(n)}(1)}{n!} (x-1)^n$$

第一步： 初始条件给出：

$$\begin{aligned} y(1) &= y^{(0)}(1) = 1 \\ y'(1) &= y^{(1)}(1) = 2 \end{aligned}$$

第二步： 由原方程 $y'' + 2y' = xy$ 在 $x = 1$ 时：

$$y''(1) + 2y'(1) = 1 \cdot y(1)$$

因此 $y''(1) = 1 \cdot y(1) - 2 \cdot y'(1) = 1 \cdot 1 - 2 \cdot 2 = -3$。

第三步： 对原方程求导，得到：

$$y''' + 2y'' = y + xy'$$

因此 $y'''(1) = y(1) + 1 \cdot y'(1) - 2 \cdot y''(1) = 1 + 1 \cdot 2 - 2 \cdot (-3) = 9$。

第四步： 三阶级数解为：

$$y(x) = 1 + 2(x-1) - \frac{3}{2}(x-1)^2 + \frac{9}{6}(x-1)^3 = 1 + 2(x-1) - \frac{3}{2}(x-1)^2 + \frac{3}{2}(x-1)^3$$

课堂练习：微分方程

对于微分方程 $y' = x + y$，$y(0) = 1$，求 $y$ 的麦克劳林级数展开到 $x^3$。

练习题

练习 1

考虑 $y = \sec^2 x$。

(a) 证明 $\displaystyle \frac{d^2y}{dx^2} = 6\sec^4 x - 4\sec^2 x$。

(b) 求 $\sec^2 x$ 以 $\displaystyle \left(x - \frac{\pi}{4}\right)$ 的升幂展开的泰勒级数，展开到 $\displaystyle \left(x - \frac{\pi}{4}\right)^3$ 项。

练习 2

一个粒子在时间 $t$ 秒时的位移 $x$ 米由以下微分方程给出：

$$\frac{d^2x}{dt^2} + x + \cos x = 0$$

当 $t = 0$ 时，$x = 0$，$\frac{dx}{dt} = \frac{1}{2}$。

求 $x$ 以 $t$ 的升幂展开的泰勒级数解，展开到 $t^3$ 项。

练习 3

考虑微分方程：

$$\frac{d^2y}{dx^2} = e^y\left(2y\frac{dy}{dx} + y^2 + 1\right)$$

(a) 证明

$$\frac{d^3y}{dx^3} = e^y\left[2y\frac{d^2y}{dx^2} + 2\left(\frac{dy}{dx}\right)^2 + ky\frac{dy}{dx} + y^2 + 1\right]$$

其中 $k$ 为待求常数。

(b) 已知在 $x = 0$ 处，$y = 1$，$\frac{dy}{dx} = 2$，求 $y$ 以 $x$ 的升幂展开的级数解，展开到 $x^3$ 项。

练习 4

考虑微分方程：

$$x\frac{dy}{dx} = 3x + y^2$$

(a) 证明

$$x\frac{d^2y}{dx^2} + (1-2y)\frac{dy}{dx} = 3$$

(b) 已知 $x = 1$ 时 $y = 1$，求 $y$ 以 $(x-1)$ 的升幂展开的级数解，展开到 $(x-1)^3$ 项。