FP3 第五章：向量

FP3 讲义：向量

先备知识检查

在开始之前，让我们回顾一些向量学习中的关键概念：

运算	定义
标量（点）积	$\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = \\|\mathbf{a}\\|\\|\mathbf{b}\\|\cos\theta$
标量积的分量形式	$\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3$
向量夹角	$\cos\theta = \frac{\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}}{\\|\mathbf{a}\\|\\|\mathbf{b}\\|}$
直线的参数方程	$\mathbf{r} = \mathbf{a} + \lambda\mathbf{b}$

5.1 向量积

5.1.1 几何动机

两个向量的标量（点）积提供了一个标量量，与一个向量在另一个向量上的投影有关。然而，我们经常需要一种方法来表示同时垂直于两个输入向量的、既有大小又有方向的量。向量积（或叉积）满足了这一需求。

向量积图示

定义：向量积。 两个向量 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$ 的向量（叉）积定义为：

\mathbf{a} \times \mathbf{b} = |\mathbf{a}||\mathbf{b}|\sin\theta\, \hat{\mathbf{n}}

其中 $\theta$ 是 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$ 之间的夹角， $\hat{\mathbf{n}}$ 是垂直于 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$ 的单位向量，方向由右手定则确定。

5.1.2 基本性质

$\mathbf{b} \times \mathbf{a} = -\mathbf{a} \times \mathbf{b}$ （不满足交换律）
$\mathbf{a} \times (\mathbf{b} + \mathbf{c}) = \mathbf{a} \times \mathbf{b} + \mathbf{a} \times \mathbf{c}$ （满足分配律）
$\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \mathbf{0}$ 当且仅当 $\mathbf{a} = \mathbf{0}$ 、 $\mathbf{b} = \mathbf{0}$ 或 $\mathbf{a}$ 与 $\mathbf{b}$ 平行

5.1.3 单位向量积

5.1.4 分量形式及其推导

叉积的分量形式可以从其几何定义和单位向量积的性质推导出来。

从向量 $\mathbf{a} = a_1\mathbf{i} + a_2\mathbf{j} + a_3\mathbf{k}$ 和 $\mathbf{b} = b_1\mathbf{i} + b_2\mathbf{j} + b_3\mathbf{k}$ 出发，利用分配律：

\begin{aligned} \mathbf{a} \times \mathbf{b} &= (a_2b_3 - a_3b_2)\mathbf{i} + (a_3b_1 - a_1b_3)\mathbf{j} + (a_1b_2 - a_2b_1)\mathbf{k} \end{aligned}

可以用行列式形式表示：

\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix}

5.2 向量积的几何应用

5.2.1 面积

定理：三角形面积。 如果 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$ 是点 A 和 B 相对于原点 O 的位置向量，则：

\text{三角形 OAB 的面积} = \frac{1}{2}|\mathbf{a} \times \mathbf{b}|

证明。 三角形 OAB 的面积为 $\frac{1}{2}|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\sin\theta$ ，其中 $\theta$ 是 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$ 之间的夹角。而这恰好等于 $\frac{1}{2}|\mathbf{a} \times \mathbf{b}|$ 。

三角形面积

5.3 标量三重积

5.3.1 定义与性质

定义：标量三重积。 三个向量 $\mathbf{a}$ 、 $\mathbf{b}$ 和 $\mathbf{c}$ 的标量三重积定义为：

\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c})

计算以下向量的标量三重积 $\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c})$ ：

\begin{aligned} \mathbf{a} &= 2\mathbf{i} - \mathbf{j} + 3\mathbf{k} \\ \mathbf{b} &= \mathbf{i} + 2\mathbf{j} - \mathbf{k} \\ \mathbf{c} &= 3\mathbf{i} - \mathbf{j} + 2\mathbf{k} \end{aligned}

解：

方法一： 先计算叉积 $\mathbf{b} \times \mathbf{c}$ ，再与 $\mathbf{a}$ 取点积。

\mathbf{b} \times \mathbf{c} = 3\mathbf{i} - 5\mathbf{j} - 7\mathbf{k}

\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c}) = 6 + 5 - 21 = -10

方法二： 直接使用行列式公式。

\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c}) = \begin{vmatrix} 2 & -1 & 3 \\ 1 & 2 & -1 \\ 3 & -1 & 2 \end{vmatrix} = -10

5.3.2 体积

定理：平行六面体体积。 以 $\mathbf{a}$ 、 $\mathbf{b}$ 和 $\mathbf{c}$ 为从公共顶点出发的棱的平行六面体的体积为：

\text{体积} = |\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c})|

平行六面体

定理：四面体体积。 以原点和位置向量为 $\mathbf{a}$ 、 $\mathbf{b}$ 和 $\mathbf{c}$ 的点为顶点的四面体的体积为：

\text{体积} = \frac{1}{6}|\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c})|

四面体

5.4 直线和平面的向量方程

5.4.1 直线的向量方程

三维空间中的直线可以用几种等价形式表示。

定义：直线的参数形式。 如果一条直线通过坐标为 $(x_1, y_1, z_1)$ 的点，方向向量为 $\mathbf{b} = (l, m, n)$ ，则直线上的任意点 $(x, y, z)$ 可以参数化表示为：

\frac{x-x_1}{l} = \frac{y-y_1}{m} = \frac{z-z_1}{n} = \lambda

定义：直线的向量方程。 对于通过点 $A$ （位置向量为 $\mathbf{a}$ ）且平行于向量 $\mathbf{b}$ 的直线，参数向量形式为：

\mathbf{r} = \mathbf{a} + \lambda\mathbf{b}

也可以用叉积表示：

(\mathbf{r} - \mathbf{a}) \times \mathbf{b} = \mathbf{0}

直线方程图示

5.4.2 平面的向量方程

定义：平面的向量方程。 平面可以用以下几种形式表示：

标量积形式： $\mathbf{r} \cdot \mathbf{n} = p$ ，其中 $\mathbf{n}$ 是平面的法向量
点法式： $(\mathbf{r} - \mathbf{a}) \cdot \mathbf{n} = 0$ ，其中 $\mathbf{a}$ 是平面上一点的位置向量
参数形式： $\mathbf{r} = \mathbf{a} + \lambda\mathbf{b} + \mu\mathbf{c}$ ，其中 $\mathbf{b}$ 和 $\mathbf{c}$ 是平面内不平行的向量
笛卡尔形式： $ax + by + cz + d = 0$

平面方程图示

5.5 三维空间中的几何问题

5.5.1 相交

两平面相交

5.5.2 角度

5.5.3 距离

1. 点到平面的距离：

\text{距离} = \frac{|(\mathbf{p}-\mathbf{r}) \cdot \mathbf{n}|}{|\mathbf{n}|} = \frac{|\mathbf{p} \cdot \mathbf{n} - a|}{|\mathbf{n}|}

其中平面方程为 $\mathbf{r}\cdot\mathbf{n} = a$ 。

点到平面的距离

2. 点到直线的距离：

\text{距离} = \frac{|(\mathbf{p} - \mathbf{a}) \times \mathbf{b}|}{|\mathbf{b}|}

其中直线方程为 $\mathbf{r} = \mathbf{a} + \lambda\mathbf{b}$ 。

点到直线的距离

3. 异面直线间的距离：

\text{距离} = \frac{|(\mathbf{a} - \mathbf{c}) \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{d})|}{|\mathbf{b} \times \mathbf{d}|}

其中直线方程为 $\mathbf{r} = \mathbf{a} + \lambda\mathbf{b}$ 和 $\mathbf{r} = \mathbf{c} + \mu\mathbf{d}$ 。

5.6 总结与关键公式

向量积： $\mathbf{a} \times \mathbf{b} = |\mathbf{a}||\mathbf{b}|\sin\theta\, \hat{\mathbf{n}}$
分量形式： $\mathbf{a} \times \mathbf{b} = (a_2b_3 - a_3b_2)\mathbf{i} + (a_3b_1 - a_1b_3)\mathbf{j} + (a_1b_2 - a_2b_1)\mathbf{k}$
面积：
- 三角形 OAB： $\frac{1}{2}|\mathbf{a} \times \mathbf{b}|$
- 三角形 ABC： $\frac{1}{2}|(\mathbf{b} - \mathbf{a}) \times (\mathbf{c} - \mathbf{a})|$
- 平行四边形 OABC： $|\mathbf{a} \times \mathbf{b}|$
标量三重积： $\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c})$
体积：
- 平行六面体： $|\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c})|$
- 四面体： $\frac{1}{6}|\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c})|$
直线方程：
- 向量形式： $(\mathbf{r} - \mathbf{a}) \times \mathbf{b} = \mathbf{0}$
- 参数形式： $\mathbf{r} = \mathbf{a} + \lambda\mathbf{b}$
- 笛卡尔形式： $\frac{x-x_1}{a} = \frac{y-y_1}{b} = \frac{z-z_1}{c}=\lambda$
平面方程：
- 标量积形式： $\mathbf{r} \cdot \mathbf{n} = p$
- 参数形式： $\mathbf{r} = \mathbf{a} + \lambda\mathbf{b} + \mu\mathbf{c}$
- 笛卡尔形式： $ax + by + cz = d$
角度：
- 直线与平面： $\sin\theta = \frac{|\mathbf{b} \cdot \mathbf{n}|}{|\mathbf{b}||\mathbf{n}|}$
- 两平面： $\cos\theta = \frac{|\mathbf{n}_1 \cdot \mathbf{n}_2|}{|\mathbf{n}_1||\mathbf{n}_2|}$
距离：
- 点到平面： $\frac{|\mathbf{p} \cdot \mathbf{n} - d|}{|\mathbf{n}|}$
- 点到直线： $\frac{|(\mathbf{p} - \mathbf{a}) \times \mathbf{b}|}{|\mathbf{b}|}$
- 异面直线： $\frac{|(\mathbf{a} - \mathbf{c}) \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{d})|}{|\mathbf{b} \times \mathbf{d}|}$