FP3 第三章：微分

FP3 讲义：微分

先备知识检查

在开始之前，让我们回顾一些关键概念：

练习 1：基本三角函数导数

不参考任何公式，证明：

1. $\frac{d}{dx}(\sin^2 x) = \sin 2x$
2. $\frac{d}{dx}(\tan x) = \sec^2 x$
3. 已知 $y = x^2 \cos 3x$，求 $\frac{dy}{dx}$

练习 2：基本双曲函数

写出以下函数的定义：

$\sinh x, \cosh x, \tanh x, \operatorname{sech} x, \operatorname{csch} x, \coth x$

1. 微分：几何与代数视角

1.1 几何视角

函数在某点的导数表示该点切线的斜率。这可以理解为割线斜率的极限。

定义：从第一性原理出发的导数

函数 $f$ 在点 $x = a$ 处的导数定义为：

$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$

前提是该极限存在。

1.2 代数视角

从代数的角度来看，微分可以视为在某点附近找到函数的最佳线性逼近。

定理：线性逼近

在 $x = a$ 附近，可微函数 $f(x)$ 可以近似为：

$f(x) \approx f(a) + f'(a)(x - a)$

这称为线性逼近或切线逼近。

例题：误差分析应用

利用 $f(x) = \sqrt{x}$ 在 $x = 4$ 处的线性逼近估算 $\sqrt{4.1}$。

由于 $f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$，我们有：

$\sqrt{4.1} \approx \sqrt{4} + \frac{1}{2\sqrt{4}}(4.1 - 4) = 2 + \frac{0.1}{4} = 2.025$

2. 三角函数及其反函数的微分

2.1 推导反三角函数导数

例题：arcsin 的导数

证明 $\frac{d}{dx}(\arcsin x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$。

隐函数微分法：

1. 令 $y = \arcsin x$，则 $\sin y = x$
2. 两边求导：$\cos y \frac{dy}{dx} = 1$
3. 因此 $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\cos y}$
4. 由于 $\sin^2 y + \cos^2 y = 1$，有 $\cos^2 y = 1 - \sin^2 y = 1 - x^2$
5. 故 $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$

引导练习：arccos 的导数

证明 $\frac{d}{dx}(\arccos x) = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$。

方法一（利用 $\arccos x + \arcsin x = \frac{\pi}{2}$）：

方法二（隐函数微分法）： 尝试用 $y = \arccos x \implies \cos y = x$ 自行推导。

引导练习：arctan 的导数

证明 $\frac{d}{dx}(\arctan x) = \frac{1}{1 + x^2}$。

3. 双曲函数的微分

3.1 推导基本双曲函数导数

引导练习：基本双曲函数导数

利用定义：

$\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}, \qquad \cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$

证明：

$\frac{d}{dx}(\sinh x) = \cosh x, \quad \frac{d}{dx}(\cosh x) = \sinh x, \quad \frac{d}{dx}(\tanh x) = \operatorname{sech}^2 x$

引导练习：倒数双曲函数导数

证明：

1. $\frac{d}{dx}(\operatorname{sech} x) = -\tanh x \operatorname{sech} x$
2. $\frac{d}{dx}(\operatorname{csch} x) = -\coth x \operatorname{csch} x$
3. $\frac{d}{dx}(\coth x) = -\operatorname{csch}^2 x$

提示： 使用商法则和之前的结果。

3.2 反双曲函数

引导练习：arsinh 的导数

证明 $\frac{d}{dx}(\operatorname{arsinh} x) = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}$。

方法一（利用定义）：

1. 使用 $\operatorname{arsinh} x = \ln(x + \sqrt{x^2 + 1})$
2. 应用链式法则求导

方法二（隐函数微分法）：

1. 令 $y = \operatorname{arsinh} x$，则 $\sinh y = x$
2. 两边求导：$\cosh y \frac{dy}{dx} = 1$
3. 利用 $\cosh^2 y - \sinh^2 y = 1$ 消去 $\cosh y$

引导练习：arcosh 的导数

证明 $\frac{d}{dx}(\operatorname{arcosh} x) = \frac{1}{\sqrt{x^2 - 1}}$，其中 $x > 1$。

方法一（利用定义 $\operatorname{arcosh} x = \ln(x + \sqrt{x^2 - 1})$）：

方法二（隐函数微分法）： 尝试用 $y = \operatorname{arcosh} x \implies \cosh y = x$ 自行推导。

引导练习：artanh 的导数

证明 $\frac{d}{dx}(\operatorname{artanh} x) = \frac{1}{1 - x^2}$，其中 $|x| < 1$。

方法一（利用定义 $\operatorname{artanh} x = \frac{1}{2}\ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right)$）：

方法二（隐函数微分法）： 尝试用 $y = \operatorname{artanh} x \implies \tanh y = x$ 自行推导。

4. 应用与历年真题

例题：Q04 WFM03/01，2021年6月

(a) 已知 $f(x) = x \arccos x$，其中 $-1 \leq x \leq 1$，求 $f'(0.5)$ 的精确值。

(b) 已知 $g(x) = \arctan(e^{2x})$，证明

$g''(x) = k \operatorname{sech}(2x) \tanh(2x)$

其中 $k$ 为待定常数。

例题：Q03 WFM03/01，2022年1月

(a) 已知 $y = \operatorname{arsech}\left(\frac{x}{2}\right)$，其中 $0 < x \leq 2$，证明

$\frac{dy}{dx} = \frac{p}{x\sqrt{q - x^2}}$

其中 $p$ 和 $q$ 为待定常数。

(b) 已知 $f(x) = \operatorname{artanh}(x) + \operatorname{arsech}\left(\frac{x}{2}\right)$，其中 $0 < x \leq 1$，以最简形式确定使 $f'(x) = 0$ 的 $x$ 的精确值。

例题：Q04 WFM03/01，2022年6月

已知 $y = \operatorname{artanh}\left(\frac{\cos x + a}{\cos x - a}\right)$，其中 $a$ 为非零常数，证明

$\frac{dy}{dx} = k \tan x$

其中 $k$ 为待定常数。

小结

要点

• 导数可以从几何（斜率）和代数（变化率）两个角度理解
• 反三角函数导数涉及 $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ 形式
• 双曲函数导数与三角函数相似，但符号有所不同
• 反双曲函数导数可以通过对数定义推导

常见错误

• 忘记 $\frac{d}{dx}(\arccos x)$ 中的负号
• 混淆反函数的定义域
• 不认识双曲恒等式
• 复合函数链式法则使用不当

课后练习

历年真题：6669/s10/01/5

已知 $y = (\operatorname{arcosh} 3x)^2$，其中 $3x > 1$，证明：

(a) $(9x^2 - 1)\left(\frac{dy}{dx}\right)^2 = 36y$（5 分）

(b) $(9x^2 - 1)\frac{d^2y}{dx^2} + 9x\frac{dy}{dx} = 18$（4 分）

历年真题：6669/s14/01/5

已知 $y = \operatorname{artanh}\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$，证明

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$

（4 分）

挑战题：证明 $(\sin x)' = \cos x$

背景回顾

关键概念 1：单位圆与三角函数

对于单位圆上的点 $P(\cos\theta, \sin\theta)$：

• $\cos\theta$ 是 $x$ 坐标
• $\sin\theta$ 是 $y$ 坐标
• 随着 $\theta$ 增大，$P$ 逆时针移动

关键概念 2：导数的定义

函数 $f(x)$ 在点 $x$ 处的导数定义为差商的极限

$\frac{f(x+h) - f(x)}{h}$

当 $h$ 趋近于 $0$ 时。

关键概念 3：arcsin 的弧长定义

在单位圆上，$\arcsin x$ 表示从点 $(1, 0)$ 到点 $(\sqrt{1-x^2}, x)$ 的弧长。

关键性质：

• 角 $\theta = \arcsin(x)$ 以弧度为单位
• 对于单位圆上的任意点 $(\sqrt{1-x^2}, x)$，$x = \sin(\theta)$
• 弧长等于弧度量 $\theta$（因为半径 = 1）
• 定义域限制 $|x| \leq 1$ 来自单位圆几何

任务一：物理方法

任务一：物理方法

1. 考虑一个在平面上运动的质点，其参数方程为： $x(t) = \cos t, \quad y(t) = \sin t$ 这在物理上意味着什么？

2. 速度矢量 $\vec{v}(t)$ 为 $\vec{v}(t) = (x'(t), y'(t))$。

   • 速度矢量的方向是什么？
   • 为什么它一定与位置矢量垂直？
   • 它的大小是多少？

3. 这个物理解释如何帮助我们理解为什么 $\frac{d}{dt}\sin t = \cos t$？

任务二：通过极限理解导数

任务二：通过极限理解导数

让我们一步步分解正弦函数的导数：

1. 在任意点 $a$，我们要求 $(\sin x)'$ 在 $x = a$ 处的值。这意味着我们需要计算：

   $\frac{\sin(a+h) - \sin a}{h} \quad \text{当 } h \text{ 越来越接近 } 0$

2. 我们可以使用三角加法公式：

   $\sin(a+h) = \sin a \cos h + \cos a \sin h$

3. 问： 将其代入差商，证明：

   $\frac{\sin(a+h) - \sin a}{h} = \sin a \cdot \frac{(\cos h - 1)}{h} + \cos a \cdot \frac{\sin h}{h}$

4. 为了证明它趋近于 $\cos a$，我们需要理解以下两项的行为：

   • $\frac{\sin h}{h}$ 当 $h$ 趋近于 $0$ 时
   • $\frac{\cos h - 1}{h}$ 当 $h$ 趋近于 $0$ 时

5. 问： 利用恒等式 $\cos h - 1 = -2\sin^2(h/2)$，证明：

   $\frac{\cos h - 1}{h} = -\sin(h/2) \cdot \frac{\sin(h/2)}{h/2}$

   由此解释为什么只要 $\frac{\sin h}{h}$ 趋近于 $1$，$\frac{\cos h - 1}{h}$ 就趋近于 $0$。

6. 因此，如果我们能证明 $\frac{\sin h}{h}$ 当 $h$ 趋近于 $0$ 时趋近于 $1$（我们将在任务三中完成），我们就证明了 $\sin x$ 在任意点 $a$ 处的导数是 $\cos a$。

任务三：解析方法

任务三：解析方法

在本任务中，我们将通过积分探索正弦函数的替代定义，并利用此定义证明 $\frac{\sin x}{x}$ 当 $x$ 趋近于 $0$ 时趋近于 $1$。

第一部分：理解弧长与反正弦

1. 回顾任务一中，当一个点沿单位圆以位置矢量 $(\cos t, \sin t)$ 运动时：

   • 其速度矢量为 $(-\sin t, \cos t)$
   • 速率（速度大小）恒为 $1$
   • 因此，参数 $t$ 等于走过的弧长

2. 考虑 $\arcsin x$ 的弧长定义（见关键概念 3）：

   • 在单位圆上，$\arcsin x$ 是从 $(1, 0)$ 到 $(\sqrt{1-x^2}, x)$ 的弧长
   • 对于曲线 $(f(t), g(t))$，其弧长为 $\int \sqrt{(f'(t))^2 + (g'(t))^2}\,dt$
   • 注：这就是”arc”sin 与”arc”length 的关系，弧长的详细计算将在下一章讨论。

3. 问： 利用上述弧长公式：

   • (a) 将表示 $\arcsin x$ 的弧表示为 $(x(t), y(t)) = (\sqrt{1-t^2}, t)$，其中 $0 \leq t \leq x$。
   • (b) 证明 $\arcsin x = \int_0^x \frac{1}{\sqrt{1-t^2}}\,dt$。

第二部分：积分的性质

1. 对于函数 $f(x) = \int_0^x \frac{1}{\sqrt{1-t^2}}\,dt$，解释为什么：

   • $f(0)$ 的值必须为 $0$
   • 随着 $x$ 增大，$f(x)$ 必然增大（考虑正函数曲线下的面积）
   • 函数关于原点对称（将 $x$ 替换为 $-x$ 会怎样？）

2. 对于 $0$ 到 $1$ 之间的任意 $x$：

   • 找出 $\frac{1}{\sqrt{1-t^2}}$ 在 $[0, x]$ 上的最小值
   • 找出 $\frac{1}{\sqrt{1-t^2}}$ 在 $[0, x]$ 上的最大值

   利用这些事实解释为什么：

   $x \leq f(x) \leq \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$

第三部分：基本性质

夹逼定理：如果 $a(x) \leq b(x) \leq c(x)$ 对所有接近某值 $p$ 的 $x$ 成立，且 $a(x)$ 和 $c(x)$ 当 $x$ 趋近于 $p$ 时都趋近于同一值 $L$，则 $b(x)$ 也必然趋近于 $L$。

1. 利用夹逼定理解释为什么 $\frac{f(x)}{x}$ 当 $x$ 趋近于 $0$ 时趋近于 $1$。

2. 令 $y = f(x)$，证明 $\frac{\sin y}{y}$ 当 $y$ 趋近于 $0$ 时也趋近于 $1$。