M2 力学：静力学——质心与平衡

从平衡到理解：稳定性的物理学

你是否想过为什么走钢丝的人拿一根长杆？或者为什么有些建筑能抵御地震而另一些不能？答案在于物理学中一个基本概念：质心。

质心概念：寻找平衡点

物理直觉：伟大的平衡术

课堂探索：平衡点的奥秘

挑战 1： 用铅笔尖平衡每块纸板形状。标记平衡点。

每个形状是否恰好有一个平衡点？
如果你试着在不同点平衡会怎样？
对于对称形状（圆形、正方形），你预期平衡点在哪里？

挑战 2： 取两个相同物体，在不同距离处用胶带粘在一起。找到这个”哑铃”的平衡点。平衡点相对于两个质量位于哪里？

从两点到多点：构建数学框架

两点系统： 两个质点 $m_1$ 和 $m_2$ 放在无质量杆上的位置 $x_1$ 和 $x_2$ 处。平衡时：

$\bar{x} = \frac{m_1 x_1 + m_2 x_2}{m_1 + m_2}$

质心是位置的加权平均，“权重”是实际质量。

三个朋友： 质量 50 kg、60 kg、70 kg，位置 0 m、2 m、5 m：

$\bar{x} = \frac{50(0) + 60(2) + 70(5)}{50 + 60 + 70} = \frac{470}{180} = 2.61 \text{ m}$

2D 例题： 四个球体 A(2 kg, 0, 0)、B(3 kg, 4, 0)、C(1 kg, 4, 3)、D(4 kg, 0, 2)：

$\bar{x} = \frac{2(0)+3(4)+1(4)+4(0)}{10} = 1.6 \text{ m}, \quad \bar{y} = \frac{2(0)+3(0)+1(3)+4(2)}{10} = 1.1 \text{ m}$

艺术家应将悬挂线接在 $(1.6, 1.1)$ 处。

扩展物体的质心

对称的力量

例如：

矩形： 几何中心
圆形： 圆心
等边三角形： 重心

三角形质心——通用结果

对于任意三角形，顶点 $(x_1, y_1)$ 、 $(x_2, y_2)$ 、 $(x_3, y_3)$ ：

$\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \quad \bar{y} = \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3}$

质心在重心（中线交点），距每个顶点沿中线 $\frac{2}{3}$ 处。

扇形与圆弧

圆形扇形（半径 $r$ ，半角 $\alpha$ ）： $\text{距中心距离} = \frac{2r\sin\alpha}{3\alpha}$

圆弧（半径 $r$ ，半角 $\alpha$ ）： $\text{距中心距离} = \frac{r\sin\alpha}{\alpha}$

线性物体

均匀直导线： 质心在几何中点。端点 $(x_1, y_1)$ 和 $(x_2, y_2)$ ： $\bar{x} = \frac{x_1 + x_2}{2}, \quad \bar{y} = \frac{y_1 + y_2}{2}$

组合法则：构建复杂形状

类型 1：直接分解——L 形薄板

B 为原点，分解为两个矩形：

矩形 1（底部）： $4 \times 1$ ， $m_1 = 4\rho$ ，质心 $(2, 0.5)$
矩形 2（左侧）： $1 \times 3$ ， $m_2 = 3\rho$ ，质心 $(0.5, 2.5)$

$\bar{x} = \frac{4\rho(2) + 3\rho(0.5)}{7\rho} = \frac{19}{14}, \quad \bar{y} = \frac{4\rho(0.5) + 3\rho(2.5)}{7\rho} = \frac{19}{14}$

质心到 AB 和 BC 的距离都是 $\dfrac{19}{14}$ 。

类型 2：弯曲导线框架

导线 ABCD：AB=4, BC=3, CD=2。B 为原点：A $(-4,0)$ , B $(0,0)$ , C $(0,3)$ , D $(-2,3)$ 。

段	质量	质心
AB	4	$(-2, 0)$
BC	3	$(0, 1.5)$
CD	2	$(-1, 3)$

总质量 $M = 9$ ：

$\bar{x} = \frac{4(-2)+3(0)+2(-1)}{9} = -\frac{10}{9}, \quad \bar{y} = \frac{4(0)+3(1.5)+2(3)}{9} = \frac{7}{6}$

类型 3：孔与负质量法

半径 6 的圆板，有半径 2 的孔，孔中心距大圆中心 3。

大圆： $m_1 = 36\pi$ ，中心 $(0,0)$ ；孔（负质量）： $m_2 = -4\pi$ ，中心 $(3,0)$ 。

$\bar{x} = \frac{36\pi(0) + (-4\pi)(3)}{36\pi - 4\pi} = -\frac{3}{8}$

距原中心 $\dfrac{3}{8}$ 单位（在孔的反方向）。

类型 4：非均匀物体

矩形 A： $4\times 2$ ，质量 24，质心 $(2,1)$ ；矩形 B： $2\times 3$ ，质量 30，质心 $(5,1.5)$ 。

$d_{\text{左}} = \frac{24(2)+30(5)}{54} = \frac{11}{3} \text{ cm}, \quad d_{\text{下}} = \frac{24(1)+30(1.5)}{54} = \frac{23}{18} \text{ cm}$

平衡与稳定性

悬挂物体

基本原理： 物体从任意点悬挂时，质心会直接位于悬挂点下方。

斜面上的稳定性

稳定： 质心竖直线在支撑面内
临界： 质心竖直线恰好在边缘
不稳定： 质心竖直线在支撑面外 → 物体翻倒

力与力矩

梯子问题

均匀梯子长 $L$ ，重 $W$ ，靠在光滑墙上，与水平成 $\theta$ 角。地面摩擦系数 $\mu$ 。

平衡条件：

$\sum F_x = 0$ ： $f = N_w$
$\sum F_y = 0$ ： $N_g = W$
$\sum M_A = 0$ ： $W \cdot \dfrac{L}{2}\cos\theta - N_w \cdot L\sin\theta = 0$

解得： $N_w = \dfrac{W}{2\tan\theta}$

不滑动条件： $f \leq \mu N_g \implies \mu \geq \dfrac{1}{2\tan\theta}$

支撑类型

搁置支撑： 1 个垂直反力，可旋转和滑动
铰链支撑： $R_x$ 和 $R_y$ 可调，可旋转
固定支撑： 不能旋转或移动

轻杆与重杆

轻杆： 无自重，仅受外载
重杆： 有自重 $W$ 作用于质心

摩擦力与极限平衡

$f \leq \mu N$

$f < \mu N$ ：无滑动趋势，摩擦力自动调整
$f = \mu N$ ：极限平衡（即将滑动）

三角形的挑战：积分与力矩平衡

条带法

将三角形切分为水平条带。每个条带在高度 $y$ 处，宽度 $w(y)$ ，厚度 $dy$ 。

对于直角三角形，顶点 $(0,0)$ ， $(a,0)$ ， $(0,b)$ ：

利用相似三角形： $w(y) = a\left(1-\dfrac{y}{b}\right)$

总质量： $M = \displaystyle\int_0^b a\left(1-\frac{y}{b}\right)dy = \frac{ab}{2}$

总力矩： $M_y = \displaystyle\int_0^b y \cdot a\left(1-\frac{y}{b}\right)dy = \frac{ab^2}{6}$

$\bar{y} = \frac{M_y}{M} = \frac{ab^2/6}{ab/2} = \frac{b}{3}$

同理 $\bar{x} = \dfrac{a}{3}$ 。

从直角三角形到任意三角形

三角形顶点 $A(-a,0)$ ， $B(0,b)$ ， $C(c,0)$ 。从 $B$ 向 x 轴作垂线，分为两个直角三角形：

$\triangle_1$ ：质心 $\left(-\dfrac{a}{3}, \dfrac{b}{3}\right)$
$\triangle_2$ ：质心 $\left(\dfrac{c}{3}, \dfrac{b}{3}\right)$

组合：

$\bar{x} = \frac{\frac{ab}{2}\left(-\frac{a}{3}\right) + \frac{cb}{2}\left(\frac{c}{3}\right)}{\frac{ab}{2} + \frac{cb}{2}} = \frac{c-a}{3}, \quad \bar{y} = \frac{b}{3}$

结论：任意三角形的质心在三顶点坐标的平均值处。