FP2 第五章：一阶微分方程

FP2 讲义：一阶常微分方程

一阶常微分方程（ODE）是现实世界现象数学建模的基础。这些方程描述了未知函数与其一阶导数之间的关系。我们将探索求解这些方程的各种技巧，重点关注线性方程和积分因子。

引出问题：人口增长

考虑一个种群 $P(t)$，其增长速率与当前规模成正比：

$$\frac{dP}{dt} = kP$$

其中 $k$ 是正常数。这个种群如何随时间增长？

这个著名的方程导致指数增长。解为 $P(t) = P_0e^{kt}$，其中 $P_0$ 是 $t = 0$ 时的初始种群。这个简单的 ODE 及其解在生物学、经济学和许多其他领域有广泛应用。

方程 $\frac{dP}{dt} = kP$ 是可分离微分方程的一个例子，这是我们将在本讲中探讨的最简单的一阶 ODE 类型之一。

模块 1：可分离微分方程（复习）

定义

可分离微分方程。 如果微分方程可以写成以下形式，则称为可分离的：

$$\frac{dy}{dx} = \frac{f(x)}{g(y)}$$

或等价地：

$$g(y)\frac{dy}{dx} = f(x)$$

求解方法

求解可分离微分方程的步骤：

1. 分离变量：$g(y)\,dy = f(x)\,dx$
2. 两边积分：$\int g(y)\,dy = \int f(x)\,dx$
3. 尽可能显式求解 $y$
4. 如有初始条件则代入

模块 2：线性一阶 ODE

定义与标准形式

线性一阶 ODE。 如果一阶微分方程可以写成以下形式，则称为线性的：

$$\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$$

其中 $P(x)$ 和 $Q(x)$ 仅是 $x$ 的函数。

如何识别线性 ODE

线性方程必须具有以下性质：

• 因变量 $y$ 仅以一次幂出现（绝不出现 $y^2$、$\sqrt{y}$ 等）
• 导数 $\frac{dy}{dx}$ 仅以一次幂出现
• 系数 $P(x)$ 和 $Q(x)$ 仅依赖于 $x$，不依赖于 $y$

示例：

• $\frac{dy}{dx} + 2xy = \sin x$ — 线性：$y$ 仅以一次幂出现
• $\frac{dy}{dx} + y = xy^2$ — 非线性：$y$ 以 $y^2$ 出现
• $y\frac{dy}{dx} = x$ — 非线性：$\frac{dy}{dx}$ 被 $y$ 乘

积分因子法

为什么需要积分因子？

求解 $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ 时，我们面临一个挑战：左边不是一个简单函数的导数。

想象一下，如果左边是 $\frac{d}{dx}[y]$，我们就可以直接对两边积分。但实际上并非如此简单。

积分因子帮助我们将方程变换，使左边变成一个乘积的导数，然后我们可以直接积分。

可以这样理解： 找到一个特殊函数，当它乘以方程的每一项时，能把左边变成一个完整导数。

积分因子法：逐步操作

目标： 求解 $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$

第 1 步： 从方程中识别 $P(x)$ 和 $Q(x)$。确保方程处于标准形式，$\frac{dy}{dx}$ 已隔离。

第 2 步： 计算积分因子

$$\mu(x) = e^{\int P(x)\,dx}$$

求 $P(x)$ 的一个基本反导数（不需要 +C）。取 $e$ 的该次幂。

第 3 步： 用 $\mu(x)$ 乘以方程的每一项

$$\mu(x)\frac{dy}{dx} + \mu(x)P(x)y = \mu(x)Q(x)$$

第 4 步： 认出左边等于 $\frac{d}{dx}[\mu(x)y]$

这是乘积法则的逆用！

$$\frac{d}{dx}[\mu(x)y] = \mu(x)\frac{dy}{dx} + \frac{d\mu}{dx}y = \mu(x)\frac{dy}{dx} + \mu(x)P(x)y$$

第 5 步： 用这个导数重写方程

$$\frac{d}{dx}[\mu(x)y] = \mu(x)Q(x)$$

第 6 步： 两边积分

$$\mu(x)y = \int \mu(x)Q(x)\,dx + C$$

第 7 步： 求解 $y$

$$y = \frac{1}{\mu(x)}\left[\int \mu(x)Q(x)\,dx + C\right]$$

积分因子的原理解释

积分因子背后的关键洞察是：

$$\frac{d}{dx}\left[e^{\int P(x)\,dx} \cdot y\right] = e^{\int P(x)\,dx} \cdot \left(P(x)y + \frac{dy}{dx}\right)$$

当我们用积分因子 $\mu(x) = e^{\int P(x)\,dx}$ 乘以原方程 $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ 时，左边恰好变成了这个导数。

这将方程从难以直接积分的形式转变为可以直接求解的形式。

例 1：简单线性 ODE

求解 $\frac{dy}{dx} + y = e^x$。

解：

1. 识别： $P(x) = 1$，$Q(x) = e^x$

2. 求积分因子：

$$\mu(x) = e^{\int 1\,dx} = e^x$$

3. 用 $\mu(x)$ 乘以方程：

$$e^x\frac{dy}{dx} + e^x \cdot y = e^{2x}$$

4. 左边是导数：

$$\frac{d}{dx}[e^x y] = e^{2x}$$

5. 两边积分：

$$e^x y = \frac{1}{2}e^{2x} + C$$

6. 求解 $y$：

$$y = \frac{1}{2}e^x + Ce^{-x}$$

验证： 代回检验：

$$\frac{dy}{dx} + y = \left(\frac{1}{2}e^x - Ce^{-x}\right) + \left(\frac{1}{2}e^x + Ce^{-x}\right) = e^x \quad \checkmark$$

例 2：带初始条件的线性 ODE

求解初值问题：$\frac{dy}{dx} - \frac{1}{x}y = x^2$，$y(1) = 2$，$x > 0$。

解：

1. 识别： $P(x) = -\frac{1}{x}$，$Q(x) = x^2$

2. 求积分因子：

$$\mu(x) = e^{\int -\frac{1}{x}\,dx} = e^{-\ln|x|} = \frac{1}{x} \quad (x > 0)$$

3. 用 $\mu(x)$ 乘以方程：

$$\frac{1}{x}\frac{dy}{dx} - \frac{1}{x^2}y = x$$

4. 认出左边是导数：

$$\frac{d}{dx}\left[\frac{y}{x}\right] = x$$

5. 两边积分：

$$\frac{y}{x} = \frac{x^2}{2} + C$$

6. 求解 $y$：

$$y = \frac{x^3}{2} + Cx$$

7. 代入初始条件 $y(1) = 2$：

$$2 = \frac{1}{2} + C \implies C = \frac{3}{2}$$

8. 最终解：

$$y = \frac{x^3}{2} + \frac{3x}{2}$$

常见积分因子

以下是一些需要识别的常见模式：

$P(x)$	$\int P(x)\,dx$	积分因子 $\mu(x)$
$k$（常数）	$kx$	$e^{kx}$
$\frac{1}{x}$	$\ln\lvert x\rvert$	$x$
$-\frac{1}{x}$	$-\ln\lvert x\rvert$	$\frac{1}{x}$
$\frac{n}{x}$	$n\ln\lvert x\rvert$	$x^n$
$ax$	$\frac{ax^2}{2}$	$e^{\frac{ax^2}{2}}$
$\tan x$	$\ln\lvert\sec x\rvert$	$\sec x$

记住这些模式可以在求解线性 ODE 时节省时间！

课堂练习

求解以下线性微分方程：

(a) $\frac{dy}{dx} + 3y = e^{-x}$

(b) $x\frac{dy}{dx} + 2y = 4x^2$，$x > 0$

(c) $\frac{dy}{dx} - y\cot x = \sin x$，$0 < x < \pi$

模块 3：换元法

用换元变换微分方程

许多无法直接求解的微分方程可以通过换元变换为更简单的形式。关键方法是：

1. 应用给定的换元来变换变量
2. 用链式法则将导数用新变量表示
3. 简化得到的方程
4. 用标准方法（分离变量或积分因子）求解
5. 换回原变量得到原方程的解

换元可以将看起来复杂的方程变换为更容易处理的熟悉形式。

变换为线性形式

例 3：换元 $u = y + 2x$

a. 用换元 $u = y + 2x$ 将微分方程

$$\frac{dy}{dx} = \frac{-(1 + 2y + 4x)}{1 + y + 2x}$$

变换为关于 $u$ 和 $x$ 的微分方程。

b. 先求解新方程，证明原方程的通解可以写为 $4x^2 + 4xy + y^2 + 2y + 2x = k$，其中 $k$ 是常数。

解：

部分 (a)：

给定换元 $u = y + 2x$，整理得 $y = u - 2x$，由链式法则：

$$\frac{dy}{dx} = \frac{du}{dx} - 2$$

将 $y = u - 2x$ 代入右边：

$$\frac{-(1 + 2(u - 2x) + 4x)}{1 + (u - 2x) + 2x} = \frac{-(1 + 2u)}{1 + u}$$

所以方程变为：

$$\frac{du}{dx} - 2 = \frac{-(1 + 2u)}{1 + u}$$

整理得：

$$\frac{du}{dx} = \frac{1}{1 + u}$$

部分 (b)：

求解变换后的方程 $\frac{du}{dx} = \frac{1}{1 + u}$，这是可分离的：

$$(1 + u)\,du = dx$$

两边积分：

$$u + \frac{u^2}{2} = x + C_1$$

换回 $u = y + 2x$，展开并化简，令 $k = 2C_1$：

$$4x^2 + 4xy + y^2 + 2y + 2x = k$$

例 4：换元 $z = y^{-1}$

a. 用换元 $z = y^{-1}$ 将微分方程

$$\frac{dy}{dx} - \frac{1}{x}y = \frac{(x + 1)^3}{x}y^2$$

变换为

$$\frac{dz}{dx} + \frac{1}{x}z = -\frac{(x + 1)^3}{x}$$

b. 先求解变换后的方程，求原方程的通解，用 $x$ 表示 $y$。

解：

部分 (a)：

给定 $z = y^{-1}$，即 $y = z^{-1}$。由链式法则：

$$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{z^2}\frac{dz}{dx}$$

代入原方程后乘以 $-z^2$：

$$\frac{dz}{dx} + \frac{1}{x}z = -\frac{(x + 1)^3}{x} \quad \checkmark$$

部分 (b)：

这是一阶线性 ODE，$P(x) = \frac{1}{x}$，$Q(x) = -\frac{(x + 1)^3}{x}$。

积分因子：$\mu(x) = x$（$x > 0$）。

乘以 $\mu(x)$ 后积分：

$$xz = -\frac{(x+1)^4}{4} + C$$

由于 $z = y^{-1}$：

$$y = \frac{4x}{4C - (x + 1)^4}$$

换元的关键策略

记住链式法则和乘积法则：

• 若 $y = f(v)$，则 $\frac{dy}{dx} = f'(v)\frac{dv}{dx}$
• 若 $y = vx$，则 $\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}$

课堂练习

对每个方程，应用给定的换元并求解：

1. $\frac{dy}{dx} = \frac{y^2-2y}{x}$，用 $y = vx$

2. $\frac{dy}{dx} + 2y = e^{3x}$，用 $v = ye^{-2x}$

3. $(x+y)\frac{dy}{dx} = y$，用 $v = x+y$

总结

核心概念

1. 可分离方程：

   • 形式：$g(y)y' = f(x)$
   • 技巧：分离变量并积分

2. 线性方程：

   • 形式：$y' + P(x)y = Q(x)$
   • 技巧：求积分因子 $\mu(x) = e^{\int P(x)\,dx}$ 并乘以两边

3. 换元：

   • 若 $y = f(v)$，则 $\frac{dy}{dx} = f'(v)\frac{dv}{dx}$
   • 若 $y = vx$，则 $\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}$

常见错误

• 在尝试更复杂的方法之前忘记检查方程是否可分离
• 求积分因子时出错
• 错误识别线性方程中的 $P(x)$ 和 $Q(x)$ 函数
• 未正确应用初始条件

练习题

练习题 1

求解微分方程：

$$\sin x \frac{dy}{dx} - y\cos x = \sin 2x \sin x$$

练习题 2

考虑微分方程：

$$\frac{dy}{dx} - 4y\tan x = 2y^{\frac{1}{2}}$$

(a) 证明换元 $z = y^{\frac{1}{2}}$ 将此方程变换为：

$$\frac{dz}{dx} - 2z\tan x = 1$$

(b) 求解变换后的方程，求 $z$ 关于 $x$ 的函数。

(c) 由此求原方程的通解。

练习题 3

(a) 求方程的通解，写成 $y = f(x)$ 的形式：

$$\frac{dy}{dx} + 2y\tan x = \sin 2x, \quad 0 < x < \frac{\pi}{2}$$

已知 $x = \frac{\pi}{3}$ 时 $y = 2$。

(b) 求 $x = \frac{\pi}{6}$ 时 $y$ 的值，答案写成 $a + k\ln b$ 的形式，其中 $a$ 和 $b$ 是整数，$k$ 是有理数。

练习题 4

考虑微分方程：

$$x\frac{dy}{dx} + 2y = 4x^2$$

(1) 求此微分方程的通解。

(2) 求满足 $x = 1$ 时 $y = 5$ 的特解，写成 $y = f(x)$ 的形式。

(3) 对于该特解：

(a) 求曲线驻点的精确坐标。

(b) 画出曲线草图，标出驻点坐标。