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Yizi's Math Notes

FP2 第八章：极坐标

FP2 讲义：极坐标

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模块一：极坐标简介

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核心概念：极坐标系

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定义： 极坐标系使用以下两个量来确定平面上点的位置：

  • rr：从原点（极点）出发的径向距离，r≥0r \geq 0
  • θ\theta：极角，从正 xx 轴逆时针方向测量

极坐标系

关键观察：

极坐标中的点 (r,θ)(r, \theta) 可以用以下公式转换为直角坐标 (x,y)(x, y)：

x=rcos⁡θy=rsin⁡θ\begin{aligned} x &= r\cos\theta \\ y &= r\sin\theta \end{aligned}

反之，直角坐标 (x,y)(x, y) 可以用以下公式转换为极坐标 (r,θ)(r, \theta)：

r=x2+y2θ=tan⁡−1(yx)（需要根据象限调整）\begin{aligned} r &= \sqrt{x^2 + y^2} \\ \theta &= \tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right) \quad \text{（需要根据象限调整）} \end{aligned}

同一个点可以有多组极坐标表示：

(r,θ)=(r,θ+2πn)其中 n 为任意整数(r, \theta) = (r, \theta + 2\pi n) \quad \text{其中 } n \text{ 为任意整数}

例题：坐标系之间的转换

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在极坐标和直角坐标之间转换以下点：

(a) 将极坐标点 (3,π/4)(3, \pi/4) 转换为直角坐标

(b) 将直角坐标点 (0,−2)(0, -2) 转换为极坐标

模块二：基本极坐标曲线

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情况一：θ=a\theta = a（射线）

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方程 θ=a\theta = a 表示从原点出发、与正 xx 轴成角度 aa 的射线（半直线）。

直角坐标等价形式：

y=(tan⁡a)⋅xy = (\tan a) \cdot x

约束条件：点必须位于由 aa 确定的相应象限内。

情况二：r=ar = a（圆）

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方程 r=ar = a（其中 a>0a > 0）表示以原点为圆心、半径为 aa 的圆。

直角坐标等价形式：

x2+y2=a2x^2 + y^2 = a^2

情况三：r=psec⁡(a−θ)r = p \sec(a - \theta)（直线）

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方程 r=psec⁡(a−θ)r = p \sec(a - \theta) 表示一条距离原点为 pp 的直线，其中从原点到该直线的垂线与正 xx 轴成角度 aa。

特征：

  • 该直线到原点的垂直距离为 pp
  • 从原点到该直线的法线与正 xx 轴成角度 aa

例题：识别和绘制基本极坐标曲线

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识别并绘制以下极坐标曲线：

(a) θ=4π/3\theta = 4\pi/3

(b) r=2r = 2

(c) r=4sec⁡(π/4−θ)r = 4\sec(\pi/4 - \theta)

模块三：特殊极坐标曲线

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情况四：r=2acos⁡θr = 2a\cos\theta（过原点的圆）

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方程 r=2acos⁡θr = 2a\cos\theta 表示直径为 2a2a、过原点、圆心在 (a,0)(a, 0) 的圆。

特征：

  • 当 θ\theta 从 −π/2-\pi/2 变化到 π/2\pi/2（cos⁡θ\cos\theta 非负）时，圆被遍历。

直角坐标等价形式：

(x−a)2+y2=a2(x-a)^2 + y^2 = a^2

情况五：r=kθr = k\theta（阿基米德螺线）

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方程 r=kθr = k\theta 表示阿基米德螺线，其中到原点的距离随角度线性增长。

情况六：r=a(1±cos⁡θ)r = a(1 \pm \cos\theta)（心形线）

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方程 r=a(1+cos⁡θ)r = a(1 + \cos\theta) 和 r=a(1−cos⁡θ)r = a(1 - \cos\theta) 表示心形线（“心形”曲线）。

心形线 r = a(1+cos θ)

特征：

  • 心形线在 r=a(1+cos⁡θ)r = a(1 + \cos\theta) 的 θ=π\theta = \pi 处和 r=a(1−cos⁡θ)r = a(1 - \cos\theta) 的 θ=0\theta = 0 处有一个尖点
  • 到原点的最大距离为 2a2a（第一条曲线在 θ=0\theta = 0 处，第二条在 θ=π\theta = \pi 处）
  • 曲线形状类似心脏或肾脏
  • 心形线可以由一个圆在另一个相同半径的圆上滚动时，圆上一点的轨迹生成

情况七：r=a(3+2cos⁡θ)r = a(3 + 2\cos\theta)（蚶线）

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方程 r=a(3+2cos⁡θ)r = a(3 + 2\cos\theta) 表示没有内环的蚶线。

特征：

  • 这是没有内环的蚶线（因为 3>23 > 2）
  • 曲线关于 xx 轴对称

情况八：r2=a2cos⁡2θr^2 = a^2\cos 2\theta（伯努利双纽线）

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方程 r2=a2cos⁡2θr^2 = a^2\cos 2\theta 表示伯努利双纽线。

伯努利双纽线

特征：

  • 曲线通过原点（自交点）
  • 曲线有两个环，每个环从原点延伸距离 aa
  • 曲线仅在 cos⁡2θ≥0\cos 2\theta \geq 0 时存在，即 θ\theta 在 [−π/4,π/4][-\pi/4, \pi/4] 或 [3π/4,5π/4][3\pi/4, 5\pi/4] 范围内

模块四：极坐标中的面积计算

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核心概念：极坐标面积公式

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极坐标中区域的面积由以下公式给出：

A=∫αβ12r2 dθA = \int_{\alpha}^{\beta} \frac{1}{2}r^2 \, d\theta

其中区域由以下边界围成：

  • 射线 θ=α\theta = \alpha 和 θ=β\theta = \beta
  • 曲线 r=f(θ)r = f(\theta)
  • 原点

极坐标中的面积

例题：圆的面积

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用极坐标求半径为 aa 的圆的面积。

解答：

在极坐标中，以原点为圆心、半径为 aa 的圆的方程为 r=ar = a。面积为：

A=∫02π12r2 dθ=∫02π12a2 dθ=12a2∫02πdθ=12a2⋅2π=πa2\begin{aligned} A &= \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{2}r^2 \, d\theta \\ &= \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{2}a^2 \, d\theta \\ &= \frac{1}{2}a^2 \int_{0}^{2\pi} d\theta \\ &= \frac{1}{2}a^2 \cdot 2\pi \\ &= \pi a^2 \end{aligned}

这证实了圆面积的著名公式。

例题：心形线的面积

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求心形线 r=a(1+cos⁡θ)r = a(1 + \cos\theta) 所围成的面积。

解答：

我们需要对整条曲线积分，θ\theta 从 00 到 2π2\pi：

A=∫02π12r2 dθ=∫02π12[a(1+cos⁡θ)]2 dθ=a22∫02π(1+2cos⁡θ+cos⁡2θ) dθ\begin{aligned} A &= \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{2}r^2 \, d\theta \\ &= \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{2}[a(1 + \cos\theta)]^2 \, d\theta \\ &= \frac{a^2}{2}\int_{0}^{2\pi} (1 + 2\cos\theta + \cos^2\theta) \, d\theta \end{aligned}

利用恒等式 cos⁡2θ=1+cos⁡2θ2\cos^2\theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}：

A=a22∫02π(1+2cos⁡θ+1+cos⁡2θ2) dθ=a22∫02π(32+2cos⁡θ+cos⁡2θ2) dθ\begin{aligned} A &= \frac{a^2}{2}\int_{0}^{2\pi} \left(1 + 2\cos\theta + \frac{1 + \cos 2\theta}{2}\right) \, d\theta \\ &= \frac{a^2}{2}\int_{0}^{2\pi} \left(\frac{3}{2} + 2\cos\theta + \frac{\cos 2\theta}{2}\right) \, d\theta \end{aligned}

计算积分：

A=a22[3θ2+2sin⁡θ+sin⁡2θ4]02π=a22[3⋅2π2+0+0]=3πa22\begin{aligned} A &= \frac{a^2}{2}\left[\frac{3\theta}{2} + 2\sin\theta + \frac{\sin 2\theta}{4}\right]_{0}^{2\pi} \\ &= \frac{a^2}{2}\left[\frac{3 \cdot 2\pi}{2} + 0 + 0\right] \\ &= \frac{3\pi a^2}{2} \end{aligned}

因此，心形线 r=a(1+cos⁡θ)r = a(1 + \cos\theta) 所围成的面积为 3πa22\frac{3\pi a^2}{2}。

例题：曲线之间的面积

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求圆 r=3r = 3 内部且心形线 r=1+cos⁡θr = 1 + \cos\theta 外部的区域面积。

模块五：极坐标中的切线与斜率

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核心概念：求切线斜率

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对于极坐标中由 r=f(θ)r = f(\theta) 给出的曲线，某点处切线的斜率为：

dydx=r′(θ)sin⁡θ+rcos⁡θr′(θ)cos⁡θ−rsin⁡θ\frac{dy}{dx} = \frac{r'(\theta)\sin\theta + r\cos\theta}{r'(\theta)\cos\theta - r\sin\theta}

其中 r′(θ)=drdθr'(\theta) = \frac{dr}{d\theta} 是 rr 关于 θ\theta 的导数。

极坐标曲线的切线

推导：

极坐标曲线的参数方程为：

x=rcos⁡θy=rsin⁡θ\begin{aligned} x &= r\cos\theta \\ y &= r\sin\theta \end{aligned}

对 θ\theta 求导：

dxdθ=drdθcos⁡θ−rsin⁡θdydθ=drdθsin⁡θ+rcos⁡θ\begin{aligned} \frac{dx}{d\theta} &= \frac{dr}{d\theta}\cos\theta - r\sin\theta \\ \frac{dy}{d\theta} &= \frac{dr}{d\theta}\sin\theta + r\cos\theta \end{aligned}

切线的斜率为：

dydx=dy/dθdx/dθ=drdθsin⁡θ+rcos⁡θdrdθcos⁡θ−rsin⁡θ\begin{aligned} \frac{dy}{dx} &= \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} \\ &= \frac{\frac{dr}{d\theta}\sin\theta + r\cos\theta}{\frac{dr}{d\theta}\cos\theta - r\sin\theta} \end{aligned}

例题：求某点处的斜率

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求心形线 r=1+cos⁡θr = 1 + \cos\theta 在 θ=π/3\theta = \pi/3 处的切线斜率。

解答：

首先，求 θ=π/3\theta = \pi/3 处的 rr 和 r′(θ)r'(\theta)：

r=1+cos⁡(π/3)=1+12=32r′(θ)=−sin⁡θr′(π/3)=−sin⁡(π/3)=−32\begin{aligned} r &= 1 + \cos(\pi/3) = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} \\ r'(\theta) &= -\sin\theta \\ r'(\pi/3) &= -\sin(\pi/3) = -\frac{\sqrt{3}}{2} \end{aligned}

现在计算斜率：

dydx=r′(θ)sin⁡θ+rcos⁡θr′(θ)cos⁡θ−rsin⁡θ=−32⋅32+32⋅12−32⋅12−32⋅32=−34+34−34−334=0−3=0\begin{aligned} \frac{dy}{dx} &= \frac{r'(\theta)\sin\theta + r\cos\theta}{r'(\theta)\cos\theta - r\sin\theta} \\ &= \frac{-\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2}}{-\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2} - \frac{3}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} \\ &= \frac{-\frac{3}{4} + \frac{3}{4}}{-\frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{3\sqrt{3}}{4}} \\ &= \frac{0}{-\sqrt{3}} \\ &= 0 \end{aligned}

因此，在 θ=π/3\theta = \pi/3 处的切线是水平的。

求水平切线和垂直切线的位置

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对于曲线 r=f(θ)r = f(\theta)：

水平切线（dydx=0\frac{dy}{dx} = 0）：

r′(θ)sin⁡θ+rcos⁡θ=0r'(\theta)\sin\theta + r\cos\theta = 0

垂直切线（dydx=∞\frac{dy}{dx} = \infty）：

r′(θ)cos⁡θ−rsin⁡θ=0r'(\theta)\cos\theta - r\sin\theta = 0

这些方程可用于求极坐标曲线上的特殊点。

综合练习：切线与面积

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解答 (a)：

对于曲线 r=2+2sin⁡θr = 2 + \sqrt{2}\sin\theta，我们需要求切线水平的位置。极坐标曲线的水平切线出现在：

r′(θ)sin⁡θ+rcos⁡θ=0r'(\theta)\sin\theta + r\cos\theta = 0

求 r′(θ)r'(\theta)：

r′(θ)=2cos⁡θr'(\theta) = \sqrt{2}\cos\theta

代入水平切线条件：

2cos⁡θsin⁡θ+(2+2sin⁡θ)cos⁡θ=0\sqrt{2}\cos\theta\sin\theta + (2 + \sqrt{2}\sin\theta)\cos\theta = 0

提取公因式 cos⁡θ\cos\theta：

cos⁡θ[2sin⁡θ+2+2sin⁡θ]=0\cos\theta[\sqrt{2}\sin\theta + 2 + \sqrt{2}\sin\theta] = 0 cos⁡θ[22sin⁡θ+2]=0\cos\theta[2\sqrt{2}\sin\theta + 2] = 0

这意味着：

  • cos⁡θ=0\cos\theta = 0，在 θ=π2\theta = \frac{\pi}{2} 和 θ=3π2\theta = \frac{3\pi}{2} 处，或
  • 22sin⁡θ+2=02\sqrt{2}\sin\theta + 2 = 0，即 sin⁡θ=−12=−22\sin\theta = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}

第二个条件在区间 [0,2π)[0, 2\pi) 内给出 θ=5π4\theta = \frac{5\pi}{4} 和 θ=7π4\theta = \frac{7\pi}{4}。

解答 (b)：

曲线上的关键点：

θ\thetar=2+2sin⁡θr = 2 + \sqrt{2}\sin\theta备注
0022
π/2\pi/22+2≈3.412 + \sqrt{2} \approx 3.41水平切线
π\pi22
3π/23\pi/22−2≈0.592 - \sqrt{2} \approx 0.59水平切线
5π/45\pi/411水平切线
7π/47\pi/411水平切线

解答 (c)：

π<θ<2π\pi < \theta < 2\pi 范围内的水平切线在 θ=5π4\theta = \frac{5\pi}{4} 和 θ=7π4\theta = \frac{7\pi}{4} 处。

使用极坐标面积公式：

A=∫5π47π412(2+2sin⁡θ)2 dθA = \int_{\frac{5\pi}{4}}^{\frac{7\pi}{4}} \frac{1}{2}(2 + \sqrt{2}\sin\theta)^2 \, d\theta

展开被积函数：

(2+2sin⁡θ)2=4+42sin⁡θ+2sin⁡2θ(2 + \sqrt{2}\sin\theta)^2 = 4 + 4\sqrt{2}\sin\theta + 2\sin^2\theta

利用恒等式 sin⁡2θ=1−cos⁡2θ2\sin^2\theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}：

(2+2sin⁡θ)2=4+42sin⁡θ+1−cos⁡2θ=5+42sin⁡θ−cos⁡2θ(2 + \sqrt{2}\sin\theta)^2 = 4 + 4\sqrt{2}\sin\theta + 1 - \cos 2\theta = 5 + 4\sqrt{2}\sin\theta - \cos 2\theta

因此：

A=12∫5π47π4(5+42sin⁡θ−cos⁡2θ) dθ=12[5θ−42cos⁡θ−sin⁡2θ2]5π47π4\begin{aligned} A &= \frac{1}{2}\int_{\frac{5\pi}{4}}^{\frac{7\pi}{4}} (5 + 4\sqrt{2}\sin\theta - \cos 2\theta) \, d\theta \\ &= \frac{1}{2}\left[5\theta - 4\sqrt{2}\cos\theta - \frac{\sin 2\theta}{2}\right]_{\frac{5\pi}{4}}^{\frac{7\pi}{4}} \end{aligned}

在上下限处求值：

θ=7π4\theta = \frac{7\pi}{4} 处：5θ=35π45\theta = \frac{35\pi}{4}，  −42cos⁡θ=−4\;-4\sqrt{2}\cos\theta = -4，  −sin⁡2θ2=12\;-\frac{\sin 2\theta}{2} = \frac{1}{2}

θ=5π4\theta = \frac{5\pi}{4} 处：5θ=25π45\theta = \frac{25\pi}{4}，  −42cos⁡θ=4\;-4\sqrt{2}\cos\theta = 4，  −sin⁡2θ2=−12\;-\frac{\sin 2\theta}{2} = -\frac{1}{2}

代入：

A=12[35π4−4+12−(25π4+4−12)]=12[10π4−7]=12[5π2−7]=5π−144\begin{aligned} A &= \frac{1}{2}\left[\frac{35\pi}{4} - 4 + \frac{1}{2} - \left(\frac{25\pi}{4} + 4 - \frac{1}{2}\right)\right] \\ &= \frac{1}{2}\left[\frac{10\pi}{4} - 7\right] \\ &= \frac{1}{2}\left[\frac{5\pi}{2} - 7\right] \\ &= \frac{5\pi - 14}{4} \end{aligned}

因此，该区域的面积为 5π−144\frac{5\pi - 14}{4} 平方单位。