FP2 第六章：二阶微分方程

FP2 讲义：二阶常微分方程

二阶常微分方程（ODE）是涉及未知函数二阶导数的方程。它们是物理系统数学建模的基础，在物理、工程和其他科学领域有无数应用。在本讲中，我们将探索求解这些方程的理论和技巧，重点关注常系数线性方程。

引出问题：弹簧-质量系统

考虑质量为 $m$ 的物体连接在弹性系数为 $k$ 的弹簧上。如果将物体从平衡位置释放，其位置 $x(t)$ 满足：

$$m\frac{d^2x}{dt^2} = -kx$$

或等价地：

$$\frac{d^2x}{dt^2} + \frac{k}{m}x = 0$$

物体如何随时间运动？

这是二阶 ODE 的经典例子。其解描述简谐运动：$x(t) = A\cos(\omega t) + B\sin(\omega t)$，其中 $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$，$A$、$B$ 是由初始条件确定的常数。

这个方程出现在弹簧以外的多种场景中，包括摆（小振幅）、电路和声波传播。

模块 1：二次方程复习

在深入二阶 ODE 之前，我们需要复习二次方程，因为它们在求解方法中起关键作用。

二次方程。 形如：

$$ax^2 + bx + c = 0$$

的方程，其中 $a \neq 0$，$a, b, c$ 为常数。

求根公式

$ax^2 + bx + c = 0$ 的解为：

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

表达式 $\Delta = b^2 - 4ac$ 称为判别式，决定解的性质：

• $\Delta > 0$：两个不同的实根
• $\Delta = 0$：一个重实根（“双重根”）
• $\Delta < 0$：两个共轭复根

模块 2：二阶 ODE 简介

二阶 ODE。 涉及未知函数二阶导数的方程。一般形式为：

$$F\!\left(x, y, \frac{dy}{dx}, \frac{d^2y}{dx^2}\right) = 0$$

其中 $y = f(x)$ 是未知函数。

二阶 ODE 的分类

二阶 ODE 可以从多个角度分类：

1. 线性 vs. 非线性

• 线性： 可写成 $a(x)\frac{d^2y}{dx^2} + b(x)\frac{dy}{dx} + c(x)y = g(x)$
• 非线性： 不能写成上述形式

2. 齐次 vs. 非齐次

• 齐次： $g(x) = 0$
• 非齐次： $g(x) \neq 0$

3. 常系数 vs. 变系数

• 常系数： $a(x)$、$b(x)$、$c(x)$ 都是常数
• 变系数： 至少有一个依赖于 $x$

本讲重点是常系数线性二阶 ODE：

$$a\frac{d^2y}{dx^2} + b\frac{dy}{dx} + cy = g(x)$$

其中 $a$、$b$、$c$ 为常数（$a \neq 0$）。

例 1：二阶 ODE 示例

1. $\frac{d^2y}{dx^2} + 4y = 0$ — 线性、齐次、常系数
2. $\frac{d^2y}{dx^2} + 2\frac{dy}{dx} + y = \sin x$ — 线性、非齐次、常系数
3. $x\frac{d^2y}{dx^2} + \frac{dy}{dx} + xy = 0$ — 线性、齐次、变系数
4. $\frac{d^2y}{dx^2} + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2 + y = 0$ — 非线性
5. $\frac{d^2y}{dx^2} = y^3$ — 非线性

模块 3：常系数齐次线性 ODE

辅助方程法

我们聚焦于求解常系数齐次线性二阶 ODE：

$$a\frac{d^2y}{dx^2} + b\frac{dy}{dx} + cy = 0$$

辅助方程方法

求解 $a\frac{d^2y}{dx^2} + b\frac{dy}{dx} + cy = 0$：

1. 寻找形如 $y = e^{rx}$ 的解，其中 $r$ 是待定常数

2. 代入微分方程：

$$e^{rx}(ar^2 + br + c) = 0$$

3. 由于 $e^{rx} \neq 0$，必须有：

$$ar^2 + br + c = 0$$

这就是辅助方程（或特征方程）。

4. 求解这个二次方程。通解的形式取决于根的类型。

辅助方程的三种情况

情况 1：两个不同的实根

若 $ar^2 + br + c = 0$ 有两个不同的实根 $r_1$ 和 $r_2$（即 $b^2 - 4ac > 0$），则：

$$y = C_1e^{r_1x} + C_2e^{r_2x}$$

其中 $C_1$、$C_2$ 是任意常数。

原理： 由于 ODE 是线性的，若 $y_1$ 和 $y_2$ 都是解，则 $C_1y_1 + C_2y_2$ 也是解。$e^{r_1x}$ 和 $e^{r_2x}$ 都满足辅助方程，这就是完整的通解。

例 2：不同实根

求解 $\frac{d^2y}{dx^2} - 5\frac{dy}{dx} + 6y = 0$。

解：

1. 辅助方程：$r^2 - 5r + 6 = 0$
2. 因式分解：$(r - 2)(r - 3) = 0$
3. 根：$r_1 = 2$，$r_2 = 3$
4. 通解：$y = C_1e^{2x} + C_2e^{3x}$

情况 2：重实根

若 $ar^2 + br + c = 0$ 有重实根 $r_1$（即 $b^2 - 4ac = 0$），则：

$$y = C_1e^{r_1x} + C_2xe^{r_1x}$$

为什么出现 $xe^{r_1x}$： 重根时需要第二个线性无关的解。可以证明 $xe^{r_1x}$ 也是解，确保通解的完整性。

例 3：重实根

求解 $\frac{d^2y}{dx^2} - 6\frac{dy}{dx} + 9y = 0$。

解：

1. 辅助方程：$r^2 - 6r + 9 = 0$
2. 因式分解：$(r - 3)^2 = 0$
3. 重根：$r = 3$
4. 通解：$y = C_1e^{3x} + C_2xe^{3x}$

情况 3：共轭复根

若 $ar^2 + br + c = 0$ 有共轭复根 $r = \alpha \pm i\beta$（即 $b^2 - 4ac < 0$），则：

$$y = e^{\alpha x}(C_1\cos\beta x + C_2\sin\beta x)$$

为什么是这种形式？ 复根产生复解：$e^{(\alpha+i\beta)x} = e^{\alpha x}(\cos\beta x + i\sin\beta x)$。由于需要实解，我们取实部和虚部的线性组合。

这种形式在物理学中特别有用，表示带指数增长或衰减的振荡运动。

例 4：共轭复根

求解 $\frac{d^2y}{dx^2} + 4y = 0$。

解：

1. 辅助方程：$r^2 + 4 = 0$
2. 根：$r = \pm 2i$（即 $\alpha = 0$，$\beta = 2$）
3. 通解：$y = C_1\cos 2x + C_2\sin 2x$

练习

求解微分方程：

$$4\frac{d^2y}{dx^2} - 4\frac{dy}{dx} + y = 0$$

模块 4：非齐次二阶 ODE

掌握齐次方程后，我们转向非齐次常系数线性二阶 ODE：

$$a\frac{d^2y}{dx^2} + b\frac{dy}{dx} + cy = g(x)$$

其中 $g(x) \neq 0$ 是非齐次项（强迫函数）。

通解的结构

通解结构

非齐次线性 ODE 的通解为：

$$y = y_c + y_p$$

其中：

• $y_c$ 是余函数（对应齐次方程 $a\frac{d^2y}{dx^2} + b\frac{dy}{dx} + cy = 0$ 的通解）
• $y_p$ 是特积分（非齐次方程的任意一个特解）

要点：

• 余函数包含任意常数
• 特积分不含任意常数
• 只需找到一个特积分

例 5：求通解

考虑 $\frac{d^2y}{dx^2} + 4y = \sin x$。

第 1 步：余函数 $y_c$（来自 $\frac{d^2y}{dx^2} + 4y = 0$）：

• 辅助方程：$r^2 + 4 = 0 \implies r = \pm 2i$
• $y_c = A\cos 2x + B\sin 2x$

第 2 步：特积分 $y_p$：

• $y_p = -\frac{1}{3}\sin x$

第 3 步：通解：

$$y = A\cos 2x + B\sin 2x - \frac{1}{3}\sin x$$

待定系数法

待定系数法

当 $g(x)$ 具有简单形式（多项式、指数、正弦、余弦或其乘积）时使用：

1. 根据 $g(x)$ 的形式，猜测 $y_p$ 的适当形式并设待定系数
2. 计算 $y_p'$ 和 $y_p''$
3. 代入原方程
4. 通过比较同类项系数求解未知系数

重要： 如果试探函数的任何部分已经是齐次方程的解，必须乘以 $x$（必要时乘以 $x^2$）以确保线性无关。

特积分的试探函数表

非齐次项 $g(x)$	$y_p$ 的试探函数
$k$（常数）	$A$
多项式：$a_nx^n + \cdots + a_0$	$A_nx^n + \cdots + A_0$
指数：$ke^{\alpha x}$	$Ae^{\alpha x}$
正弦/余弦：$k\sin\beta x$ 或 $k\cos\beta x$	$A\sin\beta x + B\cos\beta x$
$p(x)e^{\alpha x}$	$q(x)e^{\alpha x}$（与 $p$ 同次）
$p(x)\sin\beta x$ 或 $p(x)\cos\beta x$	$q_1(x)\sin\beta x + q_2(x)\cos\beta x$（同次）
$e^{\alpha x}\sin\beta x$ 或 $e^{\alpha x}\cos\beta x$	$e^{\alpha x}(A\sin\beta x + B\cos\beta x)$

特殊情况： 若试探函数出现在余函数中：

• 若 $g(x) = ke^{\alpha x}$ 且 $e^{\alpha x}$ 在 $y_c$ 中，用 $y_p = Axe^{\alpha x}$
• 若 $g(x) = k\sin\beta x$ 或 $k\cos\beta x$ 且在 $y_c$ 中，用 $y_p = x(A\sin\beta x + B\cos\beta x)$
• 若重根且试探含 $xe^{\alpha x}$，用 $y_p = Ax^2e^{\alpha x}$

例 6：多项式非齐次项

求解 $\frac{d^2y}{dx^2} - 3\frac{dy}{dx} + 2y = 4x + 5$。

第 1 步：余函数

• 辅助方程：$r^2 - 3r + 2 = 0 \implies r = 1, 2$
• $y_c = C_1e^x + C_2e^{2x}$

第 2 步：特积分

• 试探 $y_p = Ax + B$，则 $y_p' = A$，$y_p'' = 0$
• 代入：$-3A + 2(Ax + B) = 4x + 5$
• 比较系数：$2A = 4 \implies A = 2$；$2B - 6 = 5 \implies B = 5.5$
• $y_p = 2x + 5.5$

第 3 步：通解：

$$y = C_1e^x + C_2e^{2x} + 2x + 5.5$$

例 7：指数非齐次项

求解 $\frac{d^2y}{dx^2} - \frac{dy}{dx} - 6y = 3e^{2x}$。

第 1 步： 辅助方程：$r^2 - r - 6 = 0 \implies r = 3, -2$。$y_c = C_1e^{3x} + C_2e^{-2x}$。

第 2 步： 试探 $y_p = Ae^{2x}$。代入得 $-4A = 3 \implies A = -\frac{3}{4}$。

第 3 步： $y = C_1e^{3x} + C_2e^{-2x} - \frac{3}{4}e^{2x}$

例 8：三角函数非齐次项（特殊情况）

求解 $\frac{d^2y}{dx^2} + 4y = 3\sin 2x$。

第 1 步： 辅助方程：$r^2 + 4 = 0 \implies r = \pm 2i$。$y_c = C_1\cos 2x + C_2\sin 2x$。

第 2 步： $\sin 2x$ 和 $\cos 2x$ 已在 $y_c$ 中，乘以 $x$：

试探 $y_p = x(A\cos 2x + B\sin 2x)$。

代入比较系数：$-4A = 3 \implies A = -\frac{3}{4}$；$4B = 0 \implies B = 0$。

$y_p = -\frac{3}{4}x\cos 2x$。

第 3 步：

$$y = C_1\cos 2x + C_2\sin 2x - \frac{3}{4}x\cos 2x$$

练习

求解微分方程：

$$\frac{d^2y}{dx^2} - 2\frac{dy}{dx} - 3y = 4e^x + 2x$$

模块 5：边界条件与特解

初值问题

初值问题（IVP）

二阶 ODE 的初值问题指定：

• 微分方程本身
• 函数在某点的值：$y(x_0) = y_0$
• 一阶导数在同一 $x_0$ 点的值：$y'(x_0) = y_1$

二阶 ODE 需要恰好两个条件来确定通解中的任意常数。

例 9：初值问题

求解：

$$\frac{d^2y}{dx^2} + y = x, \quad y(0) = 2, \quad y'(0) = -1$$

解：

1. 余函数： $r^2 + 1 = 0 \implies r = \pm i$，$y_c = A\cos x + B\sin x$

2. 特积分： 试探 $y_p = Cx$。代入得 $Cx = x \implies C = 1$。$y_p = x$。

3. 通解： $y = A\cos x + B\sin x + x$

4. 代入初值条件：

$$y(0) = A = 2, \quad y'(0) = B + 1 = -1 \implies B = -2$$

5. 特解： $y = 2\cos x - 2\sin x + x$

边值问题

边值问题（BVP）

边值问题在不同点指定条件：

$$y(a) = \alpha \quad \text{且} \quad y(b) = \beta$$

例 10：边值问题

求解：

$$\frac{d^2y}{dx^2} + y = 0, \quad y(0) = 0, \quad y(\pi/2) = 1$$

解：

1. 通解：$y = A\cos x + B\sin x$
2. $y(0) = A = 0$
3. $y(\pi/2) = B = 1$
4. $y = \sin x$

模块 6：二阶 ODE 的换元法

有时二阶 ODE 可以通过适当的换元来简化。我们探索两种主要类型：替换自变量 $x$ 和替换因变量 $y$。

变量替换（改变自变量）

替换自变量

当微分方程包含具有共同参数的函数时，用新变量替换该参数以简化。

链式法则变换： 当 $t = f(x)$ 且 $y = y(t)$ 时：

$$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dt} \cdot f'(x)$$$$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d^2y}{dt^2} \cdot [f'(x)]^2 + \frac{dy}{dt} \cdot f''(x)$$

例 11：对数换元

求解：

$$x^2\frac{d^2y}{dx^2} - 3x\frac{dy}{dx} + 4y = 0, \quad x > 0$$

使用 $t = \ln x$。

解：

1. 令 $t = \ln x$，即 $x = e^t$。

2. 变换导数：

$$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dt} \cdot \frac{1}{x}$$ $$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{1}{x^2}\left(\frac{d^2y}{dt^2} - \frac{dy}{dt}\right)$$

3. 代入原方程：

$$\frac{d^2y}{dt^2} - 4\frac{dy}{dt} + 4y = 0$$

4. 常系数求解：

   • 辅助方程：$(r-2)^2 = 0 \implies r = 2$（重根）
   • $y(t) = C_1e^{2t} + C_2te^{2t}$

5. 换回：

$$y(x) = C_1x^2 + C_2x^2\ln x$$

例 12：平方根换元

求解：

$$x\frac{d^2y}{dx^2} - (6x^2 + 1)\frac{dy}{dx} + 9x^3y = x^5, \quad x > 0$$

使用 $x = t^{\frac{1}{2}}$（即 $t = x^2$），变换为：

$$4\frac{d^2y}{dt^2} - 12\frac{dy}{dt} + 9y = t$$

这是常系数二阶 ODE。

因变量替换（变换方程）

替换因变量

当微分方程具有特定结构时，替换因变量 $y$ 有时可以将其变换为更简单的方程。

例 13：幂次替换

求解：

$$\frac{d^2y}{dx^2} - \frac{(y')^2}{y} + y' = 0$$

使用 $y = e^z$。

解：

1. 令 $y = e^z$，则 $y' = e^z z'$，$y'' = e^z(z')^2 + e^z z''$。

2. 代入：

$$e^z z'' + e^z z' = 0$$

3. 由于 $e^z \neq 0$：$z'' + z' = 0$

4. 辅助方程：$r^2 + r = 0 \implies r = 0, -1$。$z = C_1 + C_2e^{-x}$。

5. 换回：

$$y = A \cdot e^{Be^{-x}}$$

其中 $A = e^{C_1} > 0$，$B = C_2$ 为任意常数。

复习练习：对数换元

给定：

$$x^2\frac{d^2y}{dx^2} - 2y = 1 + 4\ln x - 2(\ln x)^2, \quad x > 0$$

证明使用 $t = \ln x$ 后变为：

$$\frac{d^2y}{dt^2} - \frac{dy}{dt} - 2y = 1 + 4t - 2t^2$$

然后求解以确定原方程的通解。

区分变换类型

因变量 vs. 自变量变换

因变量变换（$y \to v$）：

• 换元重新定义因变量：$v = f(y)$，$y = g(v)$
• 导数仍对 $x$ 求导（如 $\frac{dv}{dx}$）
• 你改变的是什么随 $x$ 变化
• 示例：$v = y^{-2}$，$z = y^2$，$y = ve^x$

自变量变换（$x \to t$）：

• 换元重新定义自变量：$t = h(x)$ 或 $x = k(t)$
• $y$ 仍为因变量，但现在视为 $t$ 的函数
• 导数对 $t$ 求导（如 $\frac{dy}{dt}$）
• 你改变的是 $y$ 相对于哪个变量变化
• 示例：$t = \ln x$，$x = e^t$，$x = t^2$

自变量变换的链式法则

情况 1：$t = h(x)$

$$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dt} \cdot h'(x)$$$$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d^2y}{dt^2} \cdot [h'(x)]^2 + \frac{dy}{dt} \cdot h''(x)$$

用 $x = h^{-1}(t)$ 将所有量表示为 $t$ 的函数。

情况 2：$x = k(t)$

$$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{k'(t)}$$$$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{\frac{d^2y}{dt^2}k'(t) - \frac{dy}{dt}k''(t)}{[k'(t)]^3}$$

作业题

第 1 题

(a) 求下列方程的通解：

$$\frac{d^2y}{dx^2} + 2\frac{dy}{dx} + 5y = 6\cos x$$

(b) 求满足 $x = 0$ 时 $y = 0$ 且 $\frac{dy}{dx} = 0$ 的特解。

第 2 题

(a) 求下列方程的通解：

$$\frac{d^2y}{dx^2} - 6\frac{dy}{dx} + 8y = 2x^2 + x$$

(b) 求满足 $x = 0$ 时 $y = 1$ 且 $\frac{dy}{dx} = 0$ 的特解。

第 3 题

(a) 证明变换 $y = xv$ 将方程

$$3\frac{d^2y}{dx^2} - \frac{6}{x}\frac{dy}{dx} + \frac{6y}{x^2} + 3y = x^2, \quad x \neq 0 \quad \text{(I)}$$

变换为

$$3\frac{d^2v}{dx^2} + 3v = x \quad \text{(II)}$$

(b) 由此求 (I) 的通解，答案写成 $y = f(x)$ 的形式。

第 4 题

(a) 证明变换 $x = t^2$ 将方程

$$4x\frac{d^2y}{dx^2} + 2(1 + 2\sqrt{x})\frac{dy}{dx} - 15y = 15x \quad \text{(I)}$$

变换为

$$\frac{d^2y}{dt^2} + 2\frac{dy}{dt} - 15y = 15t^2 \quad \text{(II)}$$

(b) 求解 (II)，用 $t$ 表示 $y$。

(c) 由此求 (I) 的通解。