FP2 第一章：不等式

FP2 讲义：不等式

引言

本讲义详细介绍利用临界值和符号分析法求解含分式和绝对值的不等式。内容分为两个模块，包含例题、图示和课堂练习。

核心概念图示

$\frac{x-2}{x+3}$ 的符号分析：

模块一：分式不等式

求解步骤

1. 求临界值：令分子 = 0 和分母 = 0。
2. 划分区间：在数轴上分区，排除分母为零的点。
3. 符号检验：在每个区间内选取测试点。
4. 合并解集：选取满足不等式方向（$>$ 或 $<$）的区间。

例题 1

解 $\dfrac{x-2}{x+3} > 0$。

临界值： 零点 $x = 2$，无定义点 $x = -3$。

区间分析：

区间	$x < -3$	$-3 < x < 2$	$x > 2$
测试点	$x = -4$	$x = 0$	$x = 3$
符号	$\dfrac{-}{-} = +$	$\dfrac{-}{+} = -$	$\dfrac{+}{+} = +$

解集： $x < -3$ 或 $x > 2$。

例题 2

解 $\dfrac{(x-4)(x+1)}{x(3x+4)} < 0$。

临界值：

$x = -\frac{4}{3} \text{（分母）},\ x = 0 \text{（分母）},\ x = -1 \text{（分子）},\ x = 4 \text{（分子）}$

数轴分区：

符号分析表：

区间	$x < -\frac{4}{3}$	$-\frac{4}{3} < x < -1$	$-1 < x < 0$	$0 < x < 4$	$x > 4$
符号	$+$	$-$	$+$	$-$	$+$

解集： $-\dfrac{4}{3} < x < -1$ 或 $0 < x < 4$。

课堂练习

练习

解 $\dfrac{x}{3x+4} \geq \dfrac{1}{x}$。

提示： 排除分母为零的点。

练习

解 $\dfrac{1}{x+2} > 2x + 3$。

模块二：绝对值不等式

求解策略

• 分类讨论：根据绝对值内部的正负号分情况讨论。

例题 3

解 $\dfrac{x}{|3x + 4|} > \dfrac{1}{x}$。

情形一：$3x + 4 > 0$（即 $x > -\frac{4}{3}$）

$\frac{x}{3x + 4} > \frac{1}{x} \Rightarrow \frac{x}{3x + 4} - \frac{1}{x} > 0 \Rightarrow \frac{x^2 - (3x + 4)}{x(3x + 4)} > 0 \Rightarrow \frac{(x-4)(x+1)}{x(3x+4)} > 0$

情形一的解集： $x \in (-1, 0) \cup (4, \infty)$（由例题 2 的符号分析得出）。

情形二：$3x + 4 < 0$（即 $x < -\frac{4}{3}$）

$\frac{x}{-(3x + 4)} > \frac{1}{x} \Rightarrow \frac{x}{3x + 4} + \frac{1}{x} < 0 \Rightarrow \frac{x^2 + 3x + 4}{x(3x + 4)} < 0$

关键观察： 二次式 $x^2 + 3x + 4$ 的判别式 $\Delta = 9 - 16 = -7 < 0$，因此恒为正。

符号分析：

$\frac{\text{恒为 } (+)}{x(3x + 4)} < 0 \Rightarrow x(3x + 4) < 0$

解集： $-\frac{4}{3} < x < 0$，但这与情形条件 $x < -\frac{4}{3}$ 矛盾。

结论： 此情形无解。

最终解集： $-1 < x < 0$ 或 $x > 4$。

例题 3* — 图解法

通过比较以下两个函数的图像来分析不等式：

$f(x) = \frac{x}{|3x + 4|} \quad \text{和} \quad g(x) = \frac{1}{x}$

第一步：定义域限制

$x \neq -\frac{4}{3},\ x \neq 0$

第二步：关键特征可视化

第三步：图像分析

• 蓝色曲线 $f(x)$：

  • 在 $x = -\frac{4}{3}$ 处有垂直渐近线（左支）
  • 水平渐近线：$x \to +\infty$ 时 $f(x) \to \frac{1}{3}$，$x \to -\infty$ 时 $f(x) \to -\frac{1}{3}$

• 绿色曲线 $g(x)$ 为标准双曲线。

• 通过解 $\frac{x}{|3x + 4|} = \frac{1}{x}$ 得交点：

$x = -1 \quad \text{和} \quad x = 4$

第四步：确定解集

• 在 $x > 0$ 区域：

  • $f(x)$ 在 $x = 4$ 处与 $g(x)$ 相交。
  • 当 $x > 4$ 时，$f(x)$ 在 $g(x)$ 上方，因为 $f(x) \to \frac{1}{3}$ 而 $g(x) \to 0 < \frac{1}{3}$。

• 在 $-\frac{4}{3} < x < 0$ 区域：

  • $f(x)$ 在 $x = -1$ 处与 $g(x)$ 相交。
  • 在 $x = -1$ 和 $x = 0$ 之间，$f(x)$ 在 $g(x)$ 上方，因为 $f(x)$ 有限而 $g(x) \to -\infty$。

• 在 $x < -\frac{4}{3}$ 区域：

  • $f(x)$ 和 $g(x)$ 不相交。
  • $f(x)$ 始终在 $g(x)$ 上方，因为 $f(x) \to -\frac{1}{3}$ 而 $g(x) \to 0 > -\frac{1}{3}$，且此区域无交点。

最终解集： $-1 < x < 0$ 或 $x > 4$。

课堂练习

练习 — 6668/s12/01/1

求满足以下条件的 $x$ 的取值集合：

$|x^2 - 4| > 3x$

小结

记忆口诀

临界值分区间，符号检验定方向； 绝对值拆情形，合并解集要周全！

常见易错点

• 排除无定义点：务必排除分母为零的值。
• 检验情形条件：确保每种情形的解满足原始不等式。
• 谨慎化简：乘以或除以变量时，注意正负号以避免不等号方向错误。

作业

E.O.C.1 — 6668/s10/01/3

1. 求满足以下条件的 $x$ 的取值集合：

$x + 4 > \frac{2}{x + 3}$

2. 推导满足以下条件的 $x$ 的值：

$x + 4 > \frac{2}{|x + 3|}$

E.O.C.2 — 6668/s11/01/1

求满足以下条件的 $x$ 的取值集合：

$\frac{3}{x + 3} > \frac{x - 4}{x}$

E.O.C.3 — 6668/s09/01/7

1. 画出 $y = |x^2 - a^2|$（$a > 1$）的图像，标出图像与坐标轴交点的坐标。

2. 解方程 $|x^2 - a^2| = a^2 - x$，$a > 1$。

3. 求满足 $|x^2 - a^2| > a^2 - x$（$a > 1$）的 $x$ 的取值集合。

挑战题（选做）

解不等式：

$|x - 2| + |x + 1| < 5$