H Logic and Counterexamples

模块 H：逻辑与反例

对应考纲 Section 2: MR1.1-MR1.8（Arg1-Arg4, Prf1, Err1） 对应 Paper: P2 核心（逻辑推理与证明） 建议课时: 2 课时 | 目标题量: 23 题

📋 模块概览

小节	内容	对应考纲	历年真题频率	课时
H1	命题逻辑基础	Arg1	8 年 11 次	0.5
H2	充分必要条件	Arg2	8 年 6 次	0.5
H3	反例构造	Prf1, Err1	8 年 12 次	1

H1 命题逻辑基础 [Arg1]

1.1 命题与逻辑联结词

命题：能够判断真假的陈述句。

TMUA 考纲涉及的逻辑联结词：

联结词	含义	数学表示
and	同时成立	$A \land B$
or（inclusive）	至少一个成立	$A \lor B$
not	否定	$\neg A$

⚠️ 注意：TMUA 的 or 是包含性或（inclusive or），即 $A$ 或 $B$ 或两者都成立。

1.2 条件命题的真假关系

考纲明确要求的四种条件命题形式：

形式	含义	数学表示
if A then B	A 成立时 B 必成立	$A \Rightarrow B$
A if B	B 成立时 A 必成立	$B \Rightarrow A$ （注意反向！）
A only if B	A 成立仅当 B 成立	$A \Rightarrow B$
A if and only if B	A 与 B 同时成立或同时不成立	$A \Leftrightarrow B$

⚡ 关键记忆：

A only if B 等价于 if A then B（A 成立 → B 必成立）
A if B 等价于 if B then A（B 成立 → A 必成立）
if and only if 要求双向成立，即等价

1.3 逆命题、否命题、逆否命题

给定原命题 $A \Rightarrow B$ ：

命题类型	形式	与原命题真假关系
逆命题（converse）	$B \Rightarrow A$	无关：原命题真，逆命题未必真
否命题	$\neg A \Rightarrow \neg B$	无关：原命题真，否命题未必真
逆否命题（contrapositive）	$\neg B \Rightarrow \neg A$	等价：原命题与逆否命题同真同假

推导逆否命题等价性（理解而非记忆）：

原命题 if A then B 为真，意味着 A 成立时 B 必成立。若 B 不成立，则 A 必不成立（否则会推出 B 成立），即 if not B then not A。

⚠️ 易错点：学生常混淆 not A implies not B（否命题）与 not B implies not A（逆否命题）。记住：逆否命题要反转 A 和 B 的位置。

1.4 全称命题与存在命题 [Arg3, Arg4]

命题类型	含义	数学表示
for all	对所有元素成立	$\forall$
for some	至少存在一个成立	$\exists$ （至少一个）
there exists	存在	$\exists$

否定规则：

原命题	否定
for all $x$ , $P(x)$	there exists $x$ such that not $P(x)$
there exists $x$ such that $P(x)$	for all $x$ , not $P(x)$
for some $x$ , $P(x)$	for all $x$ , not $P(x)$

⚡ 快速记忆：否定时，for all 变 there exists，there exists 变 for all，结论取反。

H2 充分必要条件 [Arg2]

2.1 充分条件与必要条件

定义：

A 是 B 的充分条件：A 成立 ⇒ B 成立（ $A \Rightarrow B$ ）
A 是 B 的必要条件：B 成立 ⇒ A 成立（ $B \Rightarrow A$ ），即 A 不成立则 B 必不成立
A 是 B 的充要条件：A ⇔ B，双向成立

形象理解：

充分条件：有 A 就够了（充分保证 B）
必要条件：没 A 就不行（B 必须依赖 A）

2.2 判断充分性与必要性

判断步骤：

明确命题方向：条件 ⇒ 结论
验证正向：条件成立时结论是否必成立？
验证反向：结论成立时条件是否必成立？

⚡ 快速判断技巧：

问题	判断方法
A 是否充分？	验证 $A \Rightarrow B$ 是否成立
A 是否必要？	验证 $\neg A \Rightarrow \neg B$ （或 $B \Rightarrow A$ ）是否成立
A 是否充要？	验证 $A \Leftrightarrow B$ 双向是否都成立

2.3 常见陷阱

⚠️ 典型错误：

混淆 if A then B 与 A if B
认为 A sufficient for B 等价于 A necessary for B
忽略隐含条件（如定义域、前提假设）

例子：命题：If $x^2 = 4$, then $x = 2$.

$x^2 = 4$ 是 $x = 2$ 的必要条件吗？否。 $x = -2$ 也满足 $x^2 = 4$ 。
$x^2 = 4$ 是 $x = 2$ 的充分条件吗？否。 $x = -2$ 也满足 $x^2 = 4$ 。
$x = 2$ 是 $x^2 = 4$ 的充分条件吗？是。 $x = 2$ ⇒ $x^2 = 4$ 。

H3 反例构造 [Prf1, Err1]

3.1 什么是反例

反例：满足命题假设但不满足结论的实例。

作用：一个反例足以推翻一个全称命题。

适用场景：

原命题形式：for all x, P(x) 或 if A then B
需要证明命题不成立时，构造反例即可

3.2 反例构造策略

策略一：边界值法 取定义域边界或特殊值（如 $x = 0, 1, -1$ ）。

策略二：极端值法 取使条件取极端值的数（如极大、极小、无穷）。

策略三：分段验证法 对分段定义的命题，在各段内分别找反例。

策略四：奇偶性检验法 涉及整数命题时，检验奇偶性差异。

⚡ TMUA 常见反例类型：

命题类型	常用反例
函数性质命题	$f(x) = x$ 或 $f(x) = x^2$ （简单函数）
数论命题	$n = 1, 2, 3$ 或合数 $n = 4, 6$
代数不等式命题	取边界值或使不等式反转的值
几何命题	特殊三角形（等边、等腰）

3.3 识别证明中的错误 [Err1, Err2]

TMUA 要求识别伪证明中的逻辑错误。

常见错误类型：

错误类型	例子
等式除法错误	$ab = ac$ ⇒ $b = c$ （当 $a = 0$ 时失效）
三角函数推断错误	$\sin A = \sin B$ ⇒ $A = B$ （实际 $A = B$ 或 $A + B = 180°$ ）
不等式乘法错误	$a < b, c < d$ ⇒ $ac < bd$ （当含负数时失效）
遗漏前提条件	忽略定义域限制、隐含假设
循环论证	用结论证明结论
逆命题误用	用逆命题代替原命题

⚡ 速解技巧汇总

场景	技巧
判断命题真假	验证逆否命题（同真同假），比直接验证更容易
判断充分/必要	画双向箭头：充分 ⇒ 向前，必要 ⇐ 向后
推翻全称命题	一个反例即可，优先试边界值 $n = 0, 1, 2$
`if and only if` 命题	需双向验证，只验证单向会漏判
含 `or` 的命题	TMUA 的 `or` 是包含性，三个情况都要考虑
否定命题	`for all` ⇌ `there exists`，结论取反

⚠️ 易错警示

❌ A only if B 等价于 if A then B，不是 A if B
❌ A if B 等价于 if B then A，不是 if A then B
❌ 逆命题与原命题真假无关，逆否命题才等价
❌ 反例推翻的是全称命题，存在命题需要证明无反例
❌ $\sin A = \sin B$ 不推出 $A = B$ （还有 $A + B = 180°$ ）
❌ $ab = ac$ 不推出 $b = c$ （当 $a = 0$ 时）

📝 精选例题

例题 1（2016 P2 Q4 · 逻辑推理）

题目：五个密封瓮 P, Q, R, S, T 各装有相同数量 $n$ 的球（ $n > 0$ ）。各瓮附有陈述如下：

P：装有 1 或 4 个球
Q：装有 2 或 4 个球
R：装有超过 2 个且少于 5 个球
S：装有 1 或 2 个球
T：装有少于 3 个球

恰好一个瓮的陈述为真。找出是哪个瓮。

【题目分析】本题考查逻辑推理。五个瓮装有相同数量 $n$ ，每个陈述对应 $n$ 的取值集合。恰有一条为真意味着其余四条必须为假。关键观察各陈述集合的重叠关系。

【解题步骤】第一步：将各陈述转化为取值集合。

瓮	陈述含义	$n$ 的取值集合
P	1 或 4	$\{1, 4\}$
Q	2 或 4	$\{2, 4\}$
R	$>2$ 且 $<5$	$\{3, 4\}$
S	1 或 2	$\{1, 2\}$
T	$<3$	$\{1, 2\}$

第二步：逐值验证，找出仅使一条陈述为真的 $n$ 。

$n = 1$ ：P 真，S 真，T 真（三真，矛盾）
$n = 2$ ：Q 真，S 真，T 真（三真，矛盾）
$n = 3$ ：R 真，其余全假（P 假： $3 \notin \{1,4\}$ ；Q 假： $3 \notin \{2,4\}$ ；S 假： $3 \notin \{1,2\}$ ；T 假： $3 \ge 3$ ）
$n = 4$ ：P 真，Q 真，R 真（三真，矛盾）

第三步：仅 $n = 3$ 时恰有一条陈述（R 的陈述）为真。

【快捷思路】注意到 S 和 T 的集合 $\{1, 2\}$ 相同，故若 $n = 1$ 或 $n = 2$ ，两者同真。排除。再排除 $n = 4$ （P、Q、R 同真）。唯有 $n = 3$ 。

【正确答案】C（Urn R）

【知识点】Logic | 考纲: Arg1

例题 2（2016 P2 Q5 · 反例计数）

题目：命题：若整数 $n$ 比 6 的倍数少 1 或少 5（即 $n \equiv 1$ 或 $5 \pmod{6}$ ），则 $n$ 是质数。在 $0 < n < 50$ 范围内有多少个反例？

【题目分析】命题形式为全称命题：所有形如 $6k \pm 1$ 的整数都是质数。反例即满足 $n \equiv 1$ 或 $5 \pmod{6}$ 但不是质数的数。

【解题步骤】第一步：列出 $0 < n < 50$ 中形如 $6k \pm 1$ 的数。

这些数为： $1, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 25, 29, 31, 35, 37, 41, 43, 47, 49$

第二步：判断哪些不是质数。

$n = 1$ ：不是质数（定义规定 1 不是质数）
$n = 25 = 5 \times 5$ ：合数
$n = 35 = 5 \times 7$ ：合数
$n = 49 = 7 \times 7$ ：合数

第三步：统计反例数。共 4 个反例。

【快捷思路】形如 $6k \pm 1$ 包含所有大于 3 的质数，但并非所有这类数都是质数。只需找该范围内的合数形式： $25, 35, 49$ ，加上 $1$ ，共 4 个。注意 1 既不是质数也不是合数，但作为反例有效（满足条件但不是质数）。

【正确答案】C（4 个）

【知识点】Counterexamples | 考纲: Prf1

例题 3（2017 P2 Q16 · 函数反例）

题目：命题：若 $f(x)$ 对所有整数 $x$ 取整数值，则 $f'(x)$ 对所有整数 $x$ 也取整数值。找出反例。

【题目分析】命题形式：整数上取整值的函数 ⇒ 导数在整数上取整值。需找函数使前件真（整数输入得整数输出）但后件假（整数输入的导数非整数）。

【解题步骤】检验选项中的函数：

$f(x) = x^2/2$ ： $f(0) = 0$ （整数）， $f(1) = 1/2$ （非整数）→ 前件假，不是反例
$f(x) = x^3/3$ ： $f(0) = 0$ ， $f(1) = 1/3$ （非整数）→ 前件假
$f(x) = (x^2 + x)/2 = x(x+1)/2$ ：对任意整数 $x$ ， $x$ 和 $x+1$ 一奇一偶，乘积必偶，故 $f(x)$ 恒为整数。前件真。 $f'(x) = (2x+1)/2$ ：当 $x$ 为整数时， $2x+1$ 为奇数， $f'(x)$ 不是整数。后件假。此为反例。

【快捷思路】关键观察 $x(x+1)/2$ ：相邻两整数必一奇一偶，乘积偶，除以 2 得整数。但导数 $(2x+1)/2$ 恒为奇数半值，非整数。一正一负，反例成立。

【正确答案】C

【知识点】Counterexamples | 考纲: Prf1, Err1

🏋️ 课后练习（限时 15 分钟）

#	题号	考点	对应考纲	难度
1	2016 P2 Q18	函数积分反例	Prf1	⭐⭐⭐
2	2017 P2 Q5	命题真假判断	Arg1	⭐⭐⭐
3	2017 P2 Q17	逻辑定义	Arg1, Arg2	⭐⭐⭐⭐
4	2018 P2 Q3	不等式反例	Prf1	⭐⭐⭐
5	2018 P2 Q5	充分必要判断	Arg2	⭐⭐⭐
6	2018 P2 Q6	数论反例	Prf1	⭐⭐⭐
7	2018 P2 Q12	命题逻辑	Arg1	⭐⭐⭐
8	2022 P2 Q6	条件命题	Arg1	⭐⭐⭐
9	2022 P2 Q13	充要条件	Arg2	⭐⭐⭐
10	2023 P2 Q3	反例构造	Prf1	⭐⭐⭐

完整解析见题库数据库，每题均含【解题步骤】与【快捷思路】。

📚 考纲映射表

考纲编号	内容描述	本模块对应章节
Arg1	命题逻辑、条件命题、逆命题/逆否命题	H1.1-H1.3
Arg2	充分条件、必要条件	H2
Arg3	全称命题、存在命题	H1.4
Arg4	命题否定	H1.4
Prf1	反例证明	H3
Err1	识别证明错误	H3.3
Err2	常见数学推断错误	H3.3

模块 H 讲义完成。2026-04-29