A2 Equations and Inequalities

模块 A2：方程与不等式

对应考纲 Section 1: MM1.3, MM1.4, MM1.5, MM1.6 对应 Paper: P1 重点（判别式、因式定理），P2 涉及（逻辑推理型不等式） 建议课时: 2 课时 | 目标题量: 15-20 题

📋 模块概览

小节	内容	对应考纲	历年真题频率	课时
A2.1	二次方程与判别式	MM1.3	8 年 12 次	0.5
A2.2	联立方程求解	MM1.4	8 年 8 次	0.5
A2.3	不等式解法	MM1.5	8 年 10 次	0.5
A2.4	因式定理与余数定理	MM1.6	8 年 6 次	0.5

A2.1 二次方程与判别式 [MM1.3]

1.1 求根公式与判别式

对于二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$ （ $a \neq 0$ ），求根公式为：

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

判别式 $\Delta = b^2 - 4ac$ 决定根的性质：

$\Delta$	根的性质	图像与 $x$ 轴交点
$\Delta > 0$	两个不等实根	两个交点
$\Delta = 0$	两个相等实根（重根）	一个交点（切点）
$\Delta < 0$	无实根（复根）	无交点

⚡ 快速判断根的数量：不需求解，只需计算 $\Delta$ 的符号。

1.2 配方法

配方法是处理二次函数的核心技巧，用于：

找顶点坐标
确定最值
分析对称轴

标准形式： $ax^2 + bx + c = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 + \left(c - \frac{b^2}{4a}\right)$

配方步骤：

提取 $a$ ： $a\left(x^2 + \frac{b}{a}x\right) + c$
加减平方项： $a\left(x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{b^2}{4a^2} - \frac{b^2}{4a^2}\right) + c$
整理： $a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 + \frac{4ac - b^2}{4a}$

⚡ 配方口诀：『半系数平方』——一次项系数的一半的平方。

1.3 根与系数的关系（韦达定理）

设方程 $ax^2 + bx + c = 0$ 的两根为 $x_1$ 和 $x_2$ ：

$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}, \quad x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

⚠️ 易错点：韦达定理不需要解出根即可使用，但必须确认方程有实根（ $\Delta \ge 0$ ）。

1.4 两根之差的应用

两根之差 $|x_1 - x_2| = \frac{\sqrt{\Delta}}{a}$ ，常用于：

判断根的分布范围
构造约束条件求参数范围

A2.2 联立方程求解 [MM1.4]

2.1 线性与二次方程联立

典型形式： $\begin{cases} y = mx + c \\ y = ax^2 + bx + d \end{cases}$

消元法：代入消去 $y$ ，化为关于 $x$ 的二次方程： $ax^2 + (b - m)x + (d - c) = 0$

几何意义：联立方程的解对应直线与抛物线的交点。

判别式	交点数量	几何含义
$\Delta > 0$	两个交点	直线穿过抛物线
$\Delta = 0$	一个交点（切点）	直线为切线
$\Delta < 0$	无交点	直线与抛物线相离

2.2 两个二次方程联立

当两个抛物线联立时，可能化为四次方程，但常见情况可降阶：

技巧：

观察是否可利用对称性
检查是否可直接消去 $x^2$ 或 $y^2$ 项
利用韦达定理处理对称结构

A2.3 不等式解法 [MM1.5]

3.1 二次不等式

解二次不等式 $ax^2 + bx + c > 0$ 或 $ax^2 + bx + c < 0$ 的标准流程：

确定抛物线开口方向（ $a$ 的符号）
求根（若 $\Delta \le 0$ 则无根或唯一根）
根据开口和根的位置画出简图
根据图像写出解集

口诀：『大于取两边，小于取中间』（仅当 $a > 0$ ）

条件	$ax^2 + bx + c > 0$ 的解	$ax^2 + bx + c < 0$ 的解
$a > 0$ , $\Delta > 0$	$x < x_1$ 或 $x > x_2$	$x_1 < x < x_2$
$a > 0$ , $\Delta = 0$	$x \neq x_0$ （除重根外）	无解
$a > 0$ , $\Delta < 0$	全实数	无解
$a < 0$	解集与 $a > 0$ 相反	解集与 $a > 0$ 相反

3.2 多个不等式的交集与并集

求交集：分别解每个不等式，取解集重叠部分。

技巧：不等式相乘可以构造新的二次不等式，但需注意符号变化。

⚠️ 易错警示：

不能直接将两个不等式『相乘』——负负得正会改变不等号方向
解不等式组时，需验证交集是否存在

A2.4 因式定理与余数定理 [MM1.6]

4.1 因式定理

核心结论：若 $(x - a)$ 是多项式 $f(x)$ 的因式，则 $f(a) = 0$ 。

反之，若 $f(a) = 0$ ，则 $(x - a)$ 是 $f(x)$ 的因式。

应用：

快速检验某多项式是否有特定因式
由已知根反推多项式系数

4.2 余数定理

多项式 $f(x)$ 除以 $(x - a)$ 的余数为 $f(a)$ 。

推广： $f(x)$ 除以 $(ax - b)$ 的余数为 $f\left(\frac{b}{a}\right)$ 。

⚡ 快速技巧：求余数无需做多项式除法，直接代入即可！

4.3 因式分解的综合应用

已知一个因式后，剩余因式可通过：

多项式除法（长除或综合除法）
待定系数法设剩余因式为二次式，对比系数

典型流程：

用因式定理检验是否有线性因式 $(x - a)$
用余数定理确定常数项
对剩余部分继续分解或直接验证选项

📝 典型题型与解题策略

题型 A：判别式与参数范围

特征：含参数的二次方程，要求某条件下参数的范围。

策略：

写出判别式 $\Delta$ 关于参数的表达式
根据条件转化为不等式（ $\Delta > 0$ 等）
解不等式得参数范围

例：方程 $x^2 - 2px + q = 0$ 有两实根且根之差在 $(2, 4)$ 内，求 $p^2 - q$ 的范围。

解法：两根之差 $2\sqrt{p^2 - q} \in (2, 4)$ ，故 $p^2 - q \in (1, 4)$ 。

题型 B：不等式解集与系数关系

特征：已知不等式的解集，反推系数或构造新不等式。

策略：

从解集 $p < x < q$ 反推：二次式为 $(x - p)(x - q)$ （设 $a = 1$ ）
根据系数关系 $b = -(p + q)$ ， $c = pq$
代入新不等式求解

题型 C：因式定理与系数确定

特征：多项式含未知系数，已知某因式求系数值。

策略：

设因式为 $(x - a)$ ，代入 $x = a$ 使多项式为零
解关于系数的方程
验证其他系数（如题目有多个条件）

⚡ 速解技巧汇总

场景	技巧
判断根是否存在	直接计算 $\Delta$ ，无需解方程
两根之和/积	用韦达定理，不需求根
两根之差	$
求余数	代入即可，不用除法
检验因式	代入看是否为零
配方找顶点	『半系数平方』口诀
二次不等式解集	『大于取两边，小于取中间』（ $a > 0$ ）
联立方程交点数	化为二次方程，看 $\Delta$

⚠️ 易错警示

❌ 用韦达定理前必须确认 $\Delta \ge 0$
❌ 不等式不能直接相乘—— $(-3 < x)$ 和 $(-2 < x)$ 相乘不代表 $(x^2 < 6)$
❌ 余数定理中除式为 $(ax - b)$ 时，代入的是 $x = b/a$ ，不是 $x = a$
❌ 二次不等式解集的『取两边/取中间』口诀只适用于 $a > 0$ ， $a < 0$ 时需反转
❌ 配方时不要忘记调整常数项——『加多少减多少』

📝 精选例题

例题 1（2017 P1 Q5 · 二次不等式交集）

题目：求同时满足 $x^2 - 8x + 12 < 0$ 和 $2x + 1 > 9$ 的解集 $S$ ，并用单一不等式表示。

【题目分析】本题考查二次不等式与线性不等式的联立求解。需分别解出两个不等式，取交集后再反向构造为单一二次不等式形式。

【解题步骤】第一步：解二次不等式 $x^2 - 8x + 12 < 0$ 。

因式分解： $(x - 2)(x - 6) < 0$ 。

抛物线开口向上，在两根之间取负值，解为 $2 < x < 6$ 。

第二步：解线性不等式 $2x + 1 > 9$ 。

$2x > 8$ ，得 $x > 4$ 。

第三步：取交集。

$S = (2, 6) \cap (4, \infty) = (4, 6)$ ，即 $4 < x < 6$ 。

第四步：反向构造单一不等式。

区间 $(4, 6)$ 对应二次式 $(x - 4)(x - 6) < 0$ （开口向上，在两根之间为负）。

展开得 $x^2 - 10x + 24 < 0$ 。

【快捷思路】交集为 $(4, 6)$ ，直接写出两根为 $4$ 、 $6$ 的二次不等式。『中间为负』要求开口向上，即 $a > 0$ ，取标准形式 $x^2 - 10x + 24 < 0$ 。

【正确答案】C

【知识点】Algebra | 考纲: MM1.5

例题 2（2016 P1 Q2 · 因式定理）

题目：多项式 $3x^3 + 13x^2 + 8x + a$ 有因式 $(x + 2)$ ，求完全因式分解。

【题目分析】本题考查因式定理与多项式因式分解。已知线性因式，先用因式定理求常数 $a$ ，再分解剩余部分。

【解题步骤】第一步：利用因式定理求 $a$ 。

设 $f(x) = 3x^3 + 13x^2 + 8x + a$ 。

因 $(x + 2)$ 是因式，故 $f(-2) = 0$ ：

$f(-2) = 3(-8) + 13(4) + 8(-2) + a = -24 + 52 - 16 + a = 12 + a = 0$

得 $a = -12$ 。

第二步：用 $(x + 2)$ 除多项式。

设 $f(x) = (x + 2)(3x^2 + bx + c)$ ，展开对比系数：

$3x^3 + (b + 6)x^2 + (c + 2b)x + 2c$

由 $x^2$ 系数： $b + 6 = 13$ ，得 $b = 7$ 。

由常数项： $2c = -12$ ，得 $c = -6$ 。

第三步：分解二次因式。

$3x^2 + 7x - 6 = (x + 3)(3x - 2)$ （十字相乘法验证）。

第四步：写出完全分解。

$f(x) = (x + 2)(x + 3)(3x - 2)$

【快捷思路】求出 $a = -12$ 后，各选项展开的常数项等于各因式常数之积。只有 D、E 的常数项为 $-12$ 。再检验 $x^2$ 系数：E 中 $(x+2)(x+3)(3x-2)$ 的 $x^2$ 系数为 $13$ ，吻合，直接选 E。

【正确答案】E

【知识点】Algebra | 考纲: MM1.6

例题 3（2016 P2 Q15 · 判别式与两根之差）

题目：二次方程 $f(x) = x^2 - 2px + q = 0$ 有两实根，且两根之差大于 $2$ 且小于 $4$ 。求与该条件等价的充要条件。

【题目分析】本题考查判别式应用与两根之差的表示。需将『两根之差在 $(2, 4)$ 』转化为关于 $p$ 、 $q$ 的不等式。

【解题步骤】第一步：表示两根。

$x_1 = p + \sqrt{p^2 - q}, \quad x_2 = p - \sqrt{p^2 - q}$

判别式 $\Delta = 4(p^2 - q) > 0$ ，即 $p^2 > q$ 。

第二步：计算两根之差。

$|x_1 - x_2| = 2\sqrt{p^2 - q}$

第三步：代入条件。

$2 < 2\sqrt{p^2 - q} < 4$ ，两边除以 $2$ ：

$1 < \sqrt{p^2 - q} < 2$

两边平方（各项为正）：

$1 < p^2 - q < 4$

第四步：对照选项。

条件『两根之差在 $(2, 4)$ 』等价于 $1 < p^2 - q < 4$ 。

选项 D： $q < p^2 - 1 < q + 3$

两边加 $1$ ： $q + 1 < p^2 < q + 4$

即 $1 < p^2 - q < 4$ ，完全等价。

【快捷思路】直接写出两根之差公式 $|x_1 - x_2| = \sqrt{\Delta}/a = 2\sqrt{p^2 - q}$ ，代入不等式 $2 < d < 4$ 得 $1 < p^2 - q < 4$ ，再逐一验证选项哪个与此等价。

【正确答案】D

【知识点】Algebra | 考纲: MM1.3

🏋️ 课后练习（限时 15 分钟）

#	题号	考点	对应考纲	难度
1	2017 P1 Q4	余数定理	MM1.6	⭐⭐
2	2017 P1 Q19	不等式解集与系数	MM1.5	⭐⭐⭐
3	2018 P1 Q2	二次方程系数匹配	MM1.3	⭐⭐
4	2018 P2 Q5	不等式区域	MM1.5	⭐⭐⭐
5	2019 P1 Q1	因式定理	MM1.6	⭐⭐
6	2019 P1 Q6	判别式应用	MM1.3	⭐⭐⭐
7	2020 P1 Q3	二次不等式	MM1.5	⭐⭐
8	2020 P2 Q8	联立方程交点	MM1.4	⭐⭐⭐

完整解析见题库数据库，每题均含【解题步骤】与【快捷思路】。

📚 考纲要点回顾

MM1.3 二次方程：熟练掌握求根公式、判别式、配方法、韦达定理。

MM1.4 联立方程：掌握代入消元法，理解交点数与判别式的关系。

MM1.5 不等式：能正确解二次不等式，理解解集与图像的关系，处理不等式组的交集。

MM1.6 因式定理：理解因式定理与余数定理的本质，能快速检验因式、确定系数。

创建时间: 2026-04-29 模块编号: A2 状态: ✅ 完成