A1 Algebra Basics

Module A1：代数运算基础

对应考纲 Section 1: MM1.1, MM1.2, MM1.6, MM1.7 对应 Paper: P1 重点（计算技巧型），P2 涉及（代数推理基础） 建议课时: 2 课时 | 目标题量: 15-20 题

小节	内容	对应考纲	历年真题频率	课时
A1.1	指数法则与运算	MM1.1	8 年 12 次	0.5
A1.2	根式运算与有理化	MM1.2	8 年 8 次	0.5
A1.3	多项式运算（展开、因式分解、余数定理）	MM1.6	8 年 20 次	1
A1.4	函数性质基础	MM1.7	8 年 10 次	0.5

指数法则本质是乘法的简化记号。理解而非死记：

$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$

推导理解： $a^m$ 是 $m$ 个 $a$ 相乘， $a^n$ 是 $n$ 个 $a$ 相乘，合起来是 $m+n$ 个 $a$ 相乘。

$\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$

推导理解： $m$ 个 $a$ 相乘除以 $n$ 个 $a$ 相乘，剩下 $m-n$ 个。

$(a^m)^n = a^{mn}$

推导理解： $a^m$ 重复乘 $n$ 次，每次贡献 $m$ 个 $a$ ，总计 $mn$ 个。

$a^{-n} = \frac{1}{a^n}$

推导理解：由除法法则， $a^0 \div a^n = a^{-n}$ ，而 $a^0 = 1$ 。

$a^{1/n} = \sqrt[n]{a}$

推导理解：由 $(a^{1/n})^n = a^1 = a$ ，定义 $a^{1/n}$ 为 $a$ 的 $n$ 次方根。

指数方程的核心技巧是统一底数或换元降次。

典型结构： $a^{f(x)} = b$

若 $b$ 可表示为 $a$ 的幂： $b = a^c$ ，则 $f(x) = c$ 。

若不能直接表示，取对数： $f(x) = \log_a b$ 。

复合指数方程： $a^{2x} + ka^{x} + c = 0$

换元：令 $y = a^x$ ，转化为二次方程 $y^2 + ky + c = 0$ ，解出 $y$ 后还原 $x$ 。

根式是指数法则的逆运算：

$\sqrt{a^2} = |a|$

⚠️ 关键区别： $\sqrt{x^2} = |x|$ ，不是 $x$ 。当 $x < 0$ 时， $\sqrt{x^2} = -x$ 。

$\sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} \quad (a, b \geq 0)$

$\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} \quad (a \geq 0, b > 0)$

分母含单根式： $\frac{1}{\sqrt{a}}$

乘以 $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}}$ 得 $\frac{\sqrt{a}}{a}$ 。

分母含二项根式： $\frac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}$

利用平方差公式 $(\sqrt{a} + \sqrt{b})(\sqrt{a} - \sqrt{b}) = a - b$ ：

$\frac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} = \frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{a - b}$

⚠️ 分母变号： $\sqrt{a} - \sqrt{b}$ 的有理化因子是 $\sqrt{a} + \sqrt{b}$ ，分子分母符号互换。

二项式定理： $(a + b)^n = \sum_{r=0}^{n} \binom{n}{r} a^{n-r} b^r$

组合数 $\binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ ，考试中常用 $n = 2, 3, 4, 5$ 。

常用展开式（熟记）：