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Yizi's Math Notes

F Differentiation

模块 F：微分（Differentiation）

Section titled “模块 F：微分（Differentiation）”

对应考纲 Section 1: MM6.1, MM6.2, MM6.3 对应 Paper: P1 重点（24/320 题），P2 涉及（单调性证明、极值判断） 建议课时: 2 课时 | 目标题量: 15-20 题

📋 模块概览

Section titled “📋 模块概览”
小节内容对应考纲历年真题频率课时
F1导数与切线/法线MM6.1, MM6.38 年 8 次0.5
F2幂函数求导MM6.28 年 6 次0.5
F3驻点与最值MM6.38 年 5 次0.5
F4单调性判断MM6.38 年 5 次0.5

F1 导数与切线/法线 [MM6.1, MM6.3]

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1.1 导数的几何意义

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导数 f′(x)f'(x) 是曲线 y=f(x)y = f(x) 在点 (x,f(x))(x, f(x)) 处切线的斜率。

f′(x)=lim⁡h→0f(x+h)−f(x)hf'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}

理解导数的几何意义：

  • f′(x)>0f'(x) > 0：切线斜率为正，曲线在该点向右上方倾斜
  • f′(x)<0f'(x) < 0：切线斜率为负，曲线在该点向右下方倾斜
  • f′(x)=0f'(x) = 0：切线水平，该点可能是极值点
  • 导数不存在：切线垂直（如 y=xy = \sqrt{x} 在 x=0x = 0）或函数不光滑

⚠️ 注意：TMUA 不考”从第一性原理求导”（differentiation from first principles），只需掌握幂函数求导公式及其应用。

1.2 切线与法线方程

Section titled “1.2 切线与法线方程”

切线方程：过点 (x0,y0)(x_0, y_0)，斜率为 f′(x0)f'(x_0)

y−y0=f′(x0)(x−x0)y - y_0 = f'(x_0)(x - x_0)

法线方程：法线是切线的垂直线，斜率为负倒数

m法线=−1f′(x0)m_{\text{法线}} = -\frac{1}{f'(x_0)}

特殊情况：

  • 若 f′(x0)=0f'(x_0) = 0（切线水平），法线垂直（斜率不存在）
  • 若切线垂直，法线水平（斜率为 0）

1.3 切线/法线与坐标轴交点

Section titled “1.3 切线/法线与坐标轴交点”

设切线/法线方程为 y=mx+cy = mx + c 或 y−y0=m(x−x0)y - y_0 = m(x - x_0)：

  • xx-截距：令 y=0y = 0，解 xx
  • yy-截距：令 x=0x = 0，解 yy

两点 P(a,0)P(a, 0) 和 Q(0,b)Q(0, b) 之间的距离：

PQ=a2+b2PQ = \sqrt{a^2 + b^2}

F2 幂函数求导 [MM6.2]

Section titled “F2 幂函数求导 [MM6.2]”

2.1 基本公式

Section titled “2.1 基本公式”

幂函数 xnx^n 的导数公式：

ddxxn=nxn−1\frac{d}{dx} x^n = nx^{n-1}

适用范围：nn 为任意实数（正整数、负数、分数均可）。

常用特例：

  • ddxx3=3x2\frac{d}{dx} x^3 = 3x^2
  • ddxx−2=−2x−3\frac{d}{dx} x^{-2} = -2x^{-3}
  • ddxx12=12x−12\frac{d}{dx} x^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}
  • ddxx−32=−32x−52\frac{d}{dx} x^{-\frac{3}{2}} = -\frac{3}{2}x^{-\frac{5}{2}}

2.2 求导法则

Section titled “2.2 求导法则”

和差法则（线性性）：

ddx[af(x)+bg(x)]=af′(x)+bg′(x)\frac{d}{dx} [af(x) + bg(x)] = af'(x) + bg'(x)

乘积法则：

ddx[f(x)⋅g(x)]=f′(x)g(x)+f(x)g′(x)\frac{d}{dx} [f(x) \cdot g(x)] = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)

⚠️ TMUA 常见策略：遇到含根式的分式函数，先展开再求导，避免使用商法则。

例如： (x2+5)(2x)x34=2x3+10xx34=2x94+10x14\frac{(x^2 + 5)(2x)}{\sqrt[4]{x^3}} = \frac{2x^3 + 10x}{x^{\frac{3}{4}}} = 2x^{\frac{9}{4}} + 10x^{\frac{1}{4}}

再逐项求导：f′(x)=92x54+52x−34f'(x) = \frac{9}{2}x^{\frac{5}{4}} + \frac{5}{2}x^{-\frac{3}{4}}

2.3 二阶导数

Section titled “2.3 二阶导数”

f′′(x)=ddxf′(x)=d2ydx2f''(x) = \frac{d}{dx} f'(x) = \frac{d^2y}{dx^2}

几何意义：

  • f′′(x)>0f''(x) > 0：曲线在该点向上弯曲（凹向上）
  • f′′(x)<0f''(x) < 0：曲线在该点向下弯曲（凹向下）
  • 驻点判据：若 f′(x0)=0f'(x_0) = 0 且 f′′(x0)<0f''(x_0) < 0，则 x0x_0 是极大值点

F3 驻点与最值 [MM6.3]

Section titled “F3 驻点与最值 [MM6.3]”

3.1 驻点（Stationary Points）

Section titled “3.1 驻点（Stationary Points）”

驻点是导数为零的点：f′(x0)=0f'(x_0) = 0。

驻点类型判定：

条件类型
f′(x0)=0f'(x_0) = 0 且 f′′(x0)>0f''(x_0) > 0极小值（minimum）
f′(x0)=0f'(x_0) = 0 且 f′′(x0)<0f''(x_0) < 0极大值（maximum）
f′(x0)=0f'(x_0) = 0 且 f′′(x0)=0f''(x_0) = 0需进一步判断（可能是拐点）

⚠️ TMUA 说明：考纲指出拐点（points of inflexion）不会单独考查，但学生需理解简单多项式曲线的拐点概念。

3.2 最值问题

Section titled “3.2 最值问题”

全局最值：函数在整个定义域内的最大/最小值。

局部最值：函数在某区间内的最大/最小值。

解题策略：

  1. 找出所有驻点（f′(x)=0f'(x) = 0）
  2. 计算驻点处的函数值
  3. 检查边界点（若定义域有限）
  4. 比较所有候选值，选出最大/最小

3.3 含参数的最值

Section titled “3.3 含参数的最值”

当函数含参数 aa 时，最值可能随 aa 变化。解题思路：

  1. 求导，得到含 aa 的驻点条件
  2. 代入 xx 的特定值，得到最值关于 aa 的函数
  3. 对 aa 再求极值（二次函数最值问题）

F4 单调性判断 [MM6.3]

Section titled “F4 单调性判断 [MM6.3]”

4.1 递增与递减

Section titled “4.1 递增与递减”

严格递增：f′(x)>0f'(x) > 0 对所有 xx 在区间内成立

严格递减：f′(x)<0f'(x) < 0 对所有 xx 在区间内成立

⚠️ 等号陷阱：考纲强调”strictly”（严格），即不等号不带等号。

4.2 单调区间的划分

Section titled “4.2 单调区间的划分”

通过分析 f′(x)f'(x) 的符号变化划分单调区间：

  1. 解方程 f′(x)=0f'(x) = 0，得驻点
  2. 在驻点划分的各区间内取测试点
  3. 判断 f′(x)f'(x) 的符号

4.3 利用单调性判断零点个数

Section titled “4.3 利用单调性判断零点个数”

设 f(x)f(x) 连续且在某区间内单调：

  • 若 f(a)<0f(a) < 0 且 f(b)>0f(b) > 0（单调递增），则存在唯一零点
  • 若 f(a)>0f(a) > 0 且 f(b)<0f(b) < 0（单调递减），则存在唯一零点

介值定理应用：结合端点趋势分析，可判断五次方程等复杂函数的实根个数。

⚡ 速解技巧汇总

Section titled “⚡ 速解技巧汇总”
场景技巧
含根式分式求导先展开再求导，避免商法则
法线斜率取负倒数，m→−1mm \to -\frac{1}{m}
驻点判别二阶导数法：f′′(x0)>0f''(x_0) > 0 极小，f′′(x0)<0f''(x_0) < 0 极大
单调区间找驻点后画导数符号表格
最值问题驻点值 + 边界值比较
含参数最值对参数再求二次函数最值
切线到坐标轴距离xx-截距与 yy-截距构成直角三角形斜边

⚠️ 易错警示

Section titled “⚠️ 易错警示”
  • ❌ 求导前不化简，导致计算复杂且易错 — 应先展开为幂函数和
  • ❌ 法线斜率写成 −f′(x0)-f'(x_0)，忘记取倒数 — 正确是 −1f′(x0)-\frac{1}{f'(x_0)}
  • ❌ 切线水平时仍写法线斜率为 −10-\frac{1}{0} — 此时法线垂直，斜率不存在
  • ❌ 二阶导数符号搞反 — f′′>0f'' > 0 对应极小值（碗向上）
  • ❌ 单调区间端点写成 x≤ax \leq a — 严格单调不带等号
  • ❌ 驻点个数判断漏掉判别式分析 — 需检查 f′(x)=0f'(x) = 0 是否有实根
  • ❌ 幂函数负指数求导时符号搞错 — 如 x−2x^{-2} 导数是 −2x−3-2x^{-3}，两处负号

📝 精选例题

Section titled “📝 精选例题”

例题 1（2016 P1 Q3 · 法线与坐标轴）

Section titled “例题 1（2016 P1 Q3 · 法线与坐标轴）”

题目：曲线 y=2x2y = \frac{2}{x^2} 在 x=1x = 1 处的法线与 xx 轴交于 PP，与 yy 轴交于 QQ。求 PQPQ 的长度。

【题目分析】 本题考查导数的几何意义与法线方程。先求曲线在指定点的导数（切线斜率），取负倒数得法线斜率，写出法线方程后求其与两坐标轴的交点，最后用距离公式计算 PQPQ。

【解题步骤】 第一步：求切点坐标

当 x=1x = 1 时，y=212=2y = \dfrac{2}{1^2} = 2，切点为 (1,2)(1, 2)。

第二步：求导数与切线斜率

y=2x−2⇒dydx=−4x−3=−4x3y = 2x^{-2} \quad \Rightarrow \quad \frac{dy}{dx} = -4x^{-3} = -\frac{4}{x^3}

在 x=1x = 1 处，切线斜率为 y′(1)=−4y'(1) = -4。

第三步：求法线斜率与法线方程

法线斜率为切线斜率的负倒数：

m法线=−1−4=14m_{\text{法线}} = -\frac{1}{-4} = \frac{1}{4}

法线过点 (1,2)(1, 2)，方程为：

y−2=14(x−1)y - 2 = \frac{1}{4}(x - 1)

第四步：求与坐标轴交点

与 xx 轴交点 PP：令 y=0y = 0，得 −2=14(x−1)-2 = \dfrac{1}{4}(x-1)，解得 x=−7x = -7，即 P(−7,0)P(-7, 0)。

与 yy 轴交点 QQ：令 x=0x = 0，得 y−2=−14y - 2 = -\dfrac{1}{4}，解得 y=74y = \dfrac{7}{4}，即 Q ⁣(0,74)Q\!\left(0, \dfrac{7}{4}\right)。

第五步：计算 PQPQ 长度

PQ=(−7)2+(74)2=49+4916=83316PQ = \sqrt{(-7)^2 + \left(\frac{7}{4}\right)^2} = \sqrt{49 + \frac{49}{16}} = \sqrt{\frac{833}{16}}

注意到 833=49×17833 = 49 \times 17，因此：

PQ=49×174=7174PQ = \frac{\sqrt{49 \times 17}}{4} = \frac{7\sqrt{17}}{4}

【快捷思路】 法线斜率 m=14m = \dfrac{1}{4}，xx 截距绝对值为 77。由斜率与 xx 截距可直接写出斜边 PQ=7×12+424=7174PQ = 7 \times \dfrac{\sqrt{1^2+4^2}}{4} = \dfrac{7\sqrt{17}}{4}，省去单独求 QQ 点坐标的步骤。

【正确答案】C（7174\dfrac{7\sqrt{17}}{4}）

【知识点】Differentiation, Coordinate Geometry | 考纲: MM6.1, MM6.3

例题 2（2016 P1 Q12 · 内接圆柱最值）

Section titled “例题 2（2016 P1 Q12 · 内接圆柱最值）”

题目：半径为 5 cm 的球体内接一个圆柱，圆柱的整个端面圆周都与球接触。求圆柱的最大体积。

【题目分析】 本题考查内接几何体的体积最优化问题。圆柱内接于球体，利用截面中的勾股定理建立变量关系，将体积表示为单变量函数后用导数求最大值。

【解题步骤】 第一步：建立几何关系

设球半径 R=5R = 5。取过球心的截面，设圆柱底面半径为 rr，圆柱高的一半为 hh（即球心到圆柱底面的距离）。

由勾股定理：

h2+r2=52=25h^2 + r^2 = 5^2 = 25

即 r2=25−h2r^2 = 25 - h^2。

圆柱的总高度为 2h2h，体积为：

V=πr2(2h)=π(25−h2)(2h)=2π(25h−h3)V = \pi r^2 (2h) = \pi(25 - h^2)(2h) = 2\pi(25h - h^3)

第二步：求导找极值点

dVdh=2π(25−3h2)\frac{dV}{dh} = 2\pi(25 - 3h^2)

令导数为零：

25−3h2=0⇒h2=253⇒h=5325 - 3h^2 = 0 \quad \Rightarrow \quad h^2 = \frac{25}{3} \quad \Rightarrow \quad h = \frac{5}{\sqrt{3}}

验证极大值：d2Vdh2=−12πh<0\frac{d^2V}{dh^2} = -12\pi h < 0（当 h>0h > 0 时），确为极大值。

第三步：计算最大体积

r2=25−253=503r^2 = 25 - \frac{25}{3} = \frac{50}{3}

圆柱高度 2h=103=10332h = \frac{10}{\sqrt{3}} = \frac{10\sqrt{3}}{3}。

最大体积：

Vmax⁡=π⋅503⋅1033=50039πV_{\max} = \pi \cdot \frac{50}{3} \cdot \frac{10\sqrt{3}}{3} = \frac{500\sqrt{3}}{9}\pi

【快捷思路】 内接圆柱最大体积的经典结论：最优时球心到端面的距离 h=R3h = \frac{R}{\sqrt{3}}。代入 R=5R = 5 得 h=53h = \frac{5}{\sqrt{3}}，r2=23R2=503r^2 = \frac{2}{3}R^2 = \frac{50}{3}，体积为 50039π\frac{500\sqrt{3}}{9}\pi。

【正确答案】E（50039π\dfrac{500\sqrt{3}}{9}\pi）

【知识点】Differentiation, Coordinate Geometry | 考纲: MM6.2, MM6.3

例题 3（2016 P1 Q13 · 实根个数判定）

Section titled “例题 3（2016 P1 Q13 · 实根个数判定）”

题目：方程 3x5−10x3−120x+30=03x^5 - 10x^3 - 120x + 30 = 0 有几个实根？

【题目分析】 考查利用导数研究多项式函数单调性与实根个数。对五次方程 3x5−10x3−120x+30=03x^5-10x^3-120x+30=0，求导找临界点，用介值定理逐区间判断零点个数。

【解题步骤】 设 f(x)=3x5−10x3−120x+30f(x)=3x^5-10x^3-120x+30，求导：

f′(x)=15x4−30x2−120=15(x2−4)(x2+2)f'(x)=15x^4-30x^2-120=15(x^2-4)(x^2+2)

x2+2>0x^2+2>0 恒成立，导数零点为 x=±2x=\pm 2。

导数符号分析：

  • x<−2x < -2：f′>0f' > 0（递增）
  • −2<x<2-2 < x < 2：f′<0f' < 0（递减）
  • x>2x > 2：f′>0f' > 0（递增）

计算极值（只需判正负）：

f(−2)=−96+80+240+30>0,f(2)=96−80−240+30<0f(-2)=-96+80+240+30>0, \quad f(2)=96-80-240+30<0

结合端点趋势：

  • x→−∞x \to -\infty 时 f→−∞f \to -\infty
  • x→+∞x \to +\infty 时 f→+∞f \to +\infty

由介值定理逐区间判断：

  • (−∞,−2)(-\infty, -2)：从 −∞-\infty 递增到正值 f(−2)>0f(-2) > 0 → 1 个根
  • (−2,2)(-2, 2)：从正值 f(−2)f(-2) 递减到负值 f(2)<0f(2) < 0 → 1 个根
  • (2,+∞)(2, +\infty)：从负值 f(2)f(2) 递增到 +∞+\infty → 1 个根

共 3 个实根。

【快捷思路】 导数零点 ±2\pm 2 划分三个单调区间。左端趋向 −∞-\infty，右端趋向 +∞+\infty，中间极值 f(−2)>0f(-2) > 0、f(2)<0f(2) < 0，三段各有一根。

【正确答案】C（3 个）

【知识点】Differentiation, Graphs, Algebra | 考纲: MM6.3

🏋️ 课后练习（限时 15 分钟）

Section titled “🏋️ 课后练习（限时 15 分钟）”
#题号考点对应考纲难度
12016 P1 Q15含参数最值MM6.2, MM6.3⭐⭐⭐
22016 P1 Q18单调性判断MM6.3⭐⭐⭐
32016 P2 Q2幂函数求导MM6.2⭐⭐
42017 P1 Q2二阶导数MM6.1⭐⭐
52017 P1 Q10法线斜率最值MM6.1, MM6.3⭐⭐⭐⭐
62017 P1 Q16两函数单调性MM6.3⭐⭐⭐
72018 P1 Q11法线与抛物线MM6.1, MM6.3⭐⭐⭐
82018 P1 Q13导数图像分析MM6.1, MM6.3⭐⭐⭐

完整解析见题库数据库，每题均含【解题步骤】与【快捷思路】。

📌 考纲速查

Section titled “📌 考纲速查”

MM6.1 导数的定义与理解

Section titled “MM6.1 导数的定义与理解”
  • 导数作为切线斜率
  • 导数作为变化率
  • 二阶导数
  • 符号：dydx\frac{dy}{dx}, d2ydx2\frac{d^2y}{dx^2}, f′(x)f'(x), f′′(x)f''(x)

MM6.2 幂函数求导

Section titled “MM6.2 幂函数求导”
  • xnx^n 的导数（nn 为任意实数）
  • 和差的导数
  • 需先简化再求导：如 (3x+2)2x12\frac{(3x+2)^2}{x^{\frac{1}{2}}}

MM6.3 应用

Section titled “MM6.3 应用”
  • 切线与法线方程
  • 驻点（极大值、极小值）
  • 严格递增（f′>0f' > 0）
  • 严格递减（f′<0f' < 0）
  • 拐点不单独考查

本讲义依据 TMUA 2016-2023 真题编写，所有例题均来自真实考试。